Geometrie
Dreiecke Sätze
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Der Höhensatz ist einer der wichtigsten Sätze der Geometrie. Wenn du wissen willst, wie er lautet und wie du damit rechnest, bist du hier% und im Video genau richtig!

Höhensatz einfach erklärt

Mit dem Höhensatz kannst du Strecken in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen. Ein rechtwinkliges Dreieck hat

  • eine Hypotenuse (Seite gegenüber vom rechten Winkel)
  • eine Höhe, die senkrecht auf der Hypotenuse steht und sie mit der Ecke C verbindet
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Höhensatz rechtwinkliges Dreieck

Du siehst, dass die Höhe die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte q und p teilt. Dann gilt der Höhensatz.

Höhensatz Formel

h2 = p q

Der Höhensatz sagt dir, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Höhe gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte q und p ist. 

Höhensatz Beispiele

Schau dir gleich zwei Beispiele an, in denen du den Höhensatz (oder Höhensatz des Euklid) anwenden kannst. 

Beispiel 1 — Höhe rechtwinkliges Dreieck berechnen

Gegeben sind die beiden Abschnitte der Hypotenuse p = 4 cm und q = 2 cm. Du suchst jetzt die Höhe

  • Formel aufstellen: Stelle die Formel für den Höhensatz auf.

h2 = pq

  • Auflösen: Löse die Formel auf. Hier musst du die Wurzel ziehen, um die Höhe herauszufinden.

    \begin{align*} \textcolor{red}{h}^2 &= \textcolor{olive}{p} \cdot \textcolor{blue}{q} && | \sqrt{...} \\ \textcolor{red}{h} &= \sqrt{\textcolor{olive}{p} \cdot \textcolor{blue}{q}} \end{align*}

  • Angaben einsetzen und ausrechen: Setze nun noch die Zahlen in die Formel ein, um die Höhe zu berechnen

    \[\textcolor{red}{h}=\sqrt{\textcolor{olive}{4\text{cm}} \cdot \textcolor{blue}{2\text{cm}}} = \sqrt{8\text{cm}^2} \approx 2,83\text{cm}\]

Beispiel 2 — Hypotenuse berechnen

In einem rechtwinkligen Dreieck kennst du die Höhe h = 3 cm und den Hypotenusenabschnitt q = 4 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse.

Weil im Höhensatz des Euklid die Hypotenuse nicht vorkommt, kannst du stattdessen den anderen Hypotenusenabschnitt p berechnen.

  • Formel aufstellen: 

h2 = pq

  • Auflösen: Hier musst du durch q teilen.

    \begin{align*} \textcolor{red}{h}^2 &= \textcolor{olive}{p} \cdot \textcolor{blue}{q} && | : \, \textcolor{blue}{q}\\ \textcolor{olive}{p} &= \frac{\textcolor{red}{h}^2}{\textcolor{blue}{q}} \end{align*}

  • Angaben einsetzen und ausrechen

    \[\textcolor{olive}{p} = \frac{(\textcolor{red}{3\text{cm}})^2}{\textcolor{blue}{4\text{cm}}} = \frac{9\text{cm}^2}{4\text{cm}}} = 2,25\text{cm} \]

Jetzt musst du nur noch die beiden Hypotenusenabschnitte zusammenzählen, um die Länge der Hypotenuse zu ermitteln:

p + q = 2,25 cm + 4 cm = 6,25 cm

Super! In der nächsten Aufgabe kannst du dein Können gleich unter Beweis stellen!

Aufgabe: Höhe rechtwinkliges Dreieck

Bestimme die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenusenabschnitt p = 3 cm und q = 5 cm.

Lösung:

    \begin{align*} h^2 &= p \cdot q && | \sqrt{...} \\ h &= \sqrt{p \cdot q} \\ h &= \sqrt{3\text{cm} \cdot 5\text{cm}} \\ &= \sqrt{15\text{cm}^2} \approx 3,87\text{cm} \end{align*}

Rechten Winkel überprüfen

Du kannst mit dem Höhensatz des Euklid auch überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Betrachte dafür zum Beispiel ein Dreieck mit h = 4 cm, q = 2 cm und p = 7 cm.

Diese Angaben setzt du jetzt ein:

(4cm)2 = 2cm7cm

16 cm2 = 14 cm2

Das stimmt nicht, weil 16 nicht gleich 14 ist. Das Dreieck ist deshalb nicht rechtwinklig.

Geometrische Darstellung vom Höhensatz

Du kannst dir den Höhensatz des Euklid nicht nur als Formel, sondern auch als Flächen in einem Dreieck vorstellen.

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Geometrische Darstellung des Höhensatzes

Hier siehst du das Rechteck mit den Seitenlängen p und q und das Quadrat mit der Seitenlänge h. Die Höhensatz Formel lautet:

h2 = p q

Quadrat = Rechteck

In der Zeichnung bedeutet das, dass das Rechteck und das Quadrat den gleichen Flächeninhalt haben.

Kathetensatz

Super! Du weißt jetzt, wie du mit der Höhe und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck rechnen kannst. Aber was ist mit den anderen beiden Seiten des Dreiecks? Das sagen dir der Kathetensatz und der Satz des Pythagoras . Schau dir gleich unser Video zum Kathetensatz an!

%Thumbnailverweis Kathetensatz

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