Geometrie
Ebenen
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Wie du eine Ebene von der Koordinatenform zur Parameterform umwandelst, lernst du in diesem Artikel %und Video.

Koordinatenform in Parameterform einfach erklärt

Du willst die Ebene E von der Koordinatenform in die Parameterform bringen.

    \[E:x_{1}+x_{2}+x_{3}-4=0 \; \overset{?}{\rightarrow} \; \overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\overrightarrow{A}}+\lambda \textcolor{blue}{\overrightarrow{v}} + \mu \textcolor{blue}{\overrightarrow{u}}\]

1.Schritt: Bestimme drei Punkte

Als erstes findest du drei Punkte, die in deiner Ebene liegen. Am besten nimmst du dafür die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen). Dafür setzt du jeweils zwei Koordinaten gleich Null und bestimmst die dritte Koordinate. Fang mit x1=0 und x2=0 an:

    \begin{align*}0+0+x_{3}-4&=0\\  x_{3}&=4\end{align*}

Damit hast du deinen ersten Punkt P1 (0|0|4)  bestimmt. Mit der selben Herangehensweise erhältst du die Punkte P2  (0|4|0) und P3 (4|0|0).

2.Schritt: Bilde die Spannvektoren

Um die Spannvektoren zu bestimmen, kannst du jetzt die Ortsvektoren deiner Punkte benutzen. Dafür ziehst du einfach den Ortsvektor von P1 jeweils von  P2 und P3  ab:

    \[\textcolor{blue}{\overrightarrow{v}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{2}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\4\\0\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0-0\\4-0\\0-4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\4\\-4\end{array}\right)}\]

    \[\textcolor{blue}{\overrightarrow{u}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{3}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\0\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4-0\\0-0\\0-4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\-4\end{array}\right)}\]

3.Schritt: Stelle die Parameterform auf

Jetzt kannst du deine Parametergleichung aufstellen. Du wählst einen deiner Punkte als Stützvektor (zum Beispiel P1) und setzt deine Spannvektoren in deine Parametervorlage ein:

    \[E:\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\4\\-4\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\-4\end{array}\right)}\]

Aufgabe: Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Um die einzelnen Schritte zu vertiefen, kannst du eine Aufgabe dazu rechnen:

Aufgabe

Forme die Ebene von der Koordinatenform in die Parameterform um.

    \[E:x_{1}+x_{2}+5x_{3}-5=0\]

Lösung

Halte dich einfach an die drei Schritte von oben!

1.Schritt: Bestimme drei Punkte

Zuerst suchst du dir deine Spurpunkte, indem du x1 und xgleich Null setzt.

    \begin{align*}x_{1}&=0\\ x_{2}&=0\end{align*}

Dann löst du die übrig gebliebene Gleichung auf:

    \begin{align*}5x_{3}-5&=0\\ x_{3}&=1\end{align*}

Jetzt hast du deinen ersten Punkt P1 (0|0|1). Als Nächstes setzt du x1 und x3 gleich Null:

    \begin{align*}x_{1}&=0\\ x_{3}&=0\end{align*}

Löse die Gleichung:

    \begin{align*}x_{2}-5&=0\\ x_{2}&=5\end{align*}

Das führt zu deinem zweiten Punkt P2 (0|5|0). Jetzt kannst du x2 und x3 gleich Null setzen:

    \begin{align*}x_{2}&=0\\ x_{3}&=0\end{align*}

Wenn du das in deine Koordinatenform einsetzt, erhältst du:

    \begin{align*}x_{1}-5=0\end{align*}

Wenn du die Gleichung löst, kannst du deinen dritten Spurpunkt bestimmen:

    \[x_{1}=5\]

Dein letzter Punkt ist also P3 (5|0|0)

2.Schritt: Bilde die Spannvektoren

Dir fehlen nur noch deine Spannvektoren, die du wieder mit Hilfe deiner drei Punkte bildest. Du ziehst von den Ortsvektoren von P2 und P3 den Ortsvektor von P1 ab und erhältst:

    \[\textcolor{blue}{\overrightarrow{v}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{2}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\5\\0\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0-0\\5-0\\0-1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\5\\-1\end{array}\right)}\]

    \[\textcolor{blue}{\overrightarrow{u}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{3}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}5\\0\\\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}5-0\\0-0\\0-1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}5\\0\\-1\end{array}\right)}\]

3.Schritt: Stelle die Parameterform auf

Jetzt stellst du deine Parameterform auf, indem du als Stützvektor deinen Punkt P1 wählst und die Spannvektoren einsetzt:

    \[E:\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\5\\-1\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}5\\0\\-1\end{array}\right)}\]

Parameterform in Koordinatenform

Du kannst  jetzt die Koordinatenform in die Parametergleichung umwandeln, aber kannst du es auch andersrum? Falls nicht, schau dir doch unser Video zu Parameterform in Koordinatenform an!%Thumbnail"Parameterform in Koordinatenform 

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