$E:x_{1}+x_{2}+x_{3}-4=0 \; \overset{?}{\rightarrow} \; \overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\overrightarrow{A}}+\lambda \textcolor{blue}{\overrightarrow{v}} + \mu \textcolor{blue}{\overrightarrow{u}}$

1. Schritt: Bestimme drei Punkte

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(00:23)

Als erstes findest du drei Punkte, die in deiner Ebene liegen. Am besten nimmst du dafür die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen). Dafür setzt du jeweils zwei Koordinaten gleich Null und bestimmst die dritte Koordinate. Fang mit x₁=0 und x₂=0 an:

$\begin{align*}0+0+x_{3}-4&=0\\ x_{3}&=4\end{align*}$

Damit hast du deinen ersten Punkt P₁(0|0|4) bestimmt. Mit der selben Herangehensweise erhältst du die Punkte P₂(0|4|0) und P₃ (4|0|0).

2. Schritt: Bilde die Spannvektoren

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(02:02)

Um die Spannvektoren zu bestimmen, kannst du jetzt die Ortsvektoren deiner Punkte benutzen. Dafür ziehst du einfach den Ortsvektor von P₁ jeweils von P₂und P₃ ab:

$\textcolor{blue}{\overrightarrow{v}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{2}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\4\\0\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0-0\\4-0\\0-4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\4\\-4\end{array}\right)}$

$\textcolor{blue}{\overrightarrow{u}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{3}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\0\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4-0\\0-0\\0-4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\-4\end{array}\right)}$

3.Schritt: Stelle die Parameterform auf

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(02:41)

Jetzt kannst du deine Parametergleichung aufstellen. Du wählst einen deiner Punkte als Stützvektor (zum Beispiel P₁)und setzt deine Spannvektoren in deine Parametervorlage ein:

$E:\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\4\\-4\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\-4\end{array}\right)}$

Aufgabe: Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Um die einzelnen Schritte zu vertiefen, kannst du eine Aufgabe dazu rechnen:

Aufgabe

Forme die Ebene von der Koordinatenform in die Parameterform um.

$E:x_{1}+x_{2}+5x_{3}-5=0$

Lösung: Halte dich einfach an die drei Schritte von oben!

1.Schritt: Bestimme drei Punkte

Zuerst suchst du dir deine Spurpunkte, indem du x₁und x₂gleich Null setzt.

$\begin{align*}x_{1}&=0\\ x_{2}&=0\end{align*}$

Dann löst du die übrig gebliebene Gleichung auf:

$\begin{align*}5x_{3}-5&=0\\ x_{3}&=1\end{align*}$

Jetzt hast du deinen ersten Punkt P₁ (0|0|1). Als Nächstes setzt du x₁ und x₃ gleich Null:

$\begin{align*}x_{1}&=0\\ x_{3}&=0\end{align*}$

Löse die Gleichung:

$\begin{align*}x_{2}-5&=0\\ x_{2}&=5\end{align*}$

Das führt zu deinem zweiten Punkt P₂ (0|5|0). Jetzt kannst du x₂ und x₃ gleich Null setzen:

$\begin{align*}x_{2}&=0\\ x_{3}&=0\end{align*}$

Wenn du das in deine Koordinatenform einsetzt, erhältst du:

$\begin{align*}x_{1}-5=0\end{align*}$

Wenn du die Gleichung löst, kannst du deinen dritten Spurpunkt bestimmen:

$x_{1}=5$

Dein letzter Punkt ist also P₃ (5|0|0).

2. Schritt: Bilde die Spannvektoren

Dir fehlen nur noch deine Spannvektoren, die du wieder mit Hilfe deiner drei Punkte bildest. Du ziehst von den Ortsvektoren von P₂und P₃den Ortsvektor von P₁ab und erhältst:

$\textcolor{blue}{\overrightarrow{v}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{2}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\5\\0\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0-0\\5-0\\0-1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\5\\-1\end{array}\right)}$

$\textcolor{blue}{\overrightarrow{u}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{3}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}5\\0\\\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}5-0\\0-0\\0-1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}5\\0\\-1\end{array}\right)}$

3. Schritt: Stelle die Parameterform auf

Jetzt stellst du deine Parameterform auf, indem du als Stützvektor deinen Punkt P₁wählst und die Spannvektoren einsetzt:

$E:\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\5\\-1\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}5\\0\\-1\end{array}\right)}$

Parameterform in Koordinatenform

Du kannst jetzt die Koordinatenform in die Parametergleichung umwandeln, aber kannst du es auch andersrum? Falls nicht, schau dir doch unser Video zu Parameterform in Koordinatenform an!