Koordinatenform in Parameterform
Wie du eine Ebene von der Koordinatenform zur Parameterform umwandelst, lernst du in diesem Artikel und Video .
Koordinatenform in Parameterform einfach erklärt
Um eine Ebene von der Koordinatenform in die Parameterform umzurechnen, brauchst du drei Schritte:
- Schritt: Bestimme drei Punkte
- Schritt: Bilde die Spannvektoren
- Schritt: Stelle die Parameterform auf
Schau dir das gleich an der Ebene E an.
![\[E:x_{1}+x_{2}+x_{3}-4=0 \; \overset{?}{\rightarrow} \; \overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\overrightarrow{A}}+\lambda \textcolor{blue}{\overrightarrow{v}} + \mu \textcolor{blue}{\overrightarrow{u}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-151f84a739ddb399984f0cda0e0f305c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
1. Schritt: Bestimme drei Punkte
Als erstes findest du drei Punkte, die in deiner Ebene liegen. Am besten nimmst du dafür die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen). Dafür setzt du jeweils zwei Koordinaten gleich Null und bestimmst die dritte Koordinate. Fang mit x1=0 und x2=0 an:
Damit hast du deinen ersten Punkt P1 (0|0|4) bestimmt. Mit der selben Herangehensweise erhältst du die Punkte P2 (0|4|0) und P3 (4|0|0).
![\[\textcolor{blue}{\overrightarrow{v}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{2}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\4\\0\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0-0\\4-0\\0-4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\4\\-4\end{array}\right)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2e5381961eed73bb3d0ad05c367fecd4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\textcolor{blue}{\overrightarrow{u}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{3}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\0\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4-0\\0-0\\0-4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\-4\end{array}\right)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e403767131f23502c96cbee743564072_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[E:\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\4\\-4\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\-4\end{array}\right)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bcbf9fb0e67ea090af263f2b6d24afbc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aufgabe: Koordinatenform in Parameterform umwandeln
Um die einzelnen Schritte zu vertiefen, kannst du eine Aufgabe dazu rechnen:
Forme die Ebene von der Koordinatenform in die Parameterform um.
![\[E:x_{1}+x_{2}+5x_{3}-5=0\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8529d3d2e1a6b898b9095c2d16f0c25_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Lösung: Halte dich einfach an die drei Schritte von oben!
1.Schritt: Bestimme drei Punkte
Zuerst suchst du dir deine Spurpunkte, indem du x1 und x2 gleich Null setzt.
Dann löst du die übrig gebliebene Gleichung auf:
Jetzt hast du deinen ersten Punkt P1 (0|0|1). Als Nächstes setzt du x1 und x3 gleich Null:
Löse die Gleichung:
Das führt zu deinem zweiten Punkt P2 (0|5|0). Jetzt kannst du x2 und x3 gleich Null setzen:
Wenn du das in deine Koordinatenform einsetzt, erhältst du:
Wenn du die Gleichung löst, kannst du deinen dritten Spurpunkt bestimmen:
![\[x_{1}=5\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a92bf3c2f62490378ef0ca7ac4708926_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dein letzter Punkt ist also P3 (5|0|0).
2. Schritt: Bilde die Spannvektoren
Dir fehlen nur noch deine Spannvektoren, die du wieder mit Hilfe deiner drei Punkte bildest. Du ziehst von den Ortsvektoren von P2 und P3 den Ortsvektor von P1 ab und erhältst:
![\[\textcolor{blue}{\overrightarrow{v}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{2}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\5\\0\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0-0\\5-0\\0-1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\5\\-1\end{array}\right)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2cb74b3ec528be7dca8b3e769e56fdf7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\textcolor{blue}{\overrightarrow{u}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{3}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}5\\0\\\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}5-0\\0-0\\0-1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}5\\0\\-1\end{array}\right)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41a73772f42a82a02028781b08cb9bcd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3. Schritt: Stelle die Parameterform auf
Jetzt stellst du deine Parameterform auf, indem du als Stützvektor deinen Punkt P1 wählst und die Spannvektoren einsetzt:
![\[E:\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\5\\-1\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}5\\0\\-1\end{array}\right)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a1283b231e1dc852cf260ca568f5db7c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Parameterform in Koordinatenform
Du kannst jetzt die Koordinatenform in die Parametergleichung umwandeln, aber kannst du es auch andersrum? Falls nicht, schau dir doch unser Video zu Parameterform in Koordinatenform an!
