Geometrie
Ebenen
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In diesem Artikel zeigen wir dir, wie die Normalenform einer Gerade oder einer Ebene aussieht. Noch schneller verstehst du das Thema mit unserem Video !

Normalenform einfach erklärt

In der Geometrie kannst du eine Gerade oder Ebene auf verschiedene Arten beschreiben. Neben der Normalenform gibt es noch die Parameterform und die Koordinatenform . Da du je nach Aufgabe mal mit der einen, mal mit der anderen Form am einfachsten rechnest, solltest du alle drei kennen.

Normalenform

Die Normalenform einer Gerade oder einer Ebene lässt sich durch die folgende Gleichung darstellen

\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0.

Dabei ist \vec{n} der Normalenvektor der Gerade oder der Ebene und \vec{p} ein Aufpunkt.

Besonders nützlich ist die Normalenform bei der Abstandsberechnung .

Beispiel Normalenform

Die Normalenform einer Gerade mit dem Punkt P(2|3) und dem Normalenvektor \vec{n} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right) lautet:

g: \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \left(\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right)\right) = 0

Normalenform Gerade

Die Normalenform einer Geraden im \mathbb{R}^2 sieht folgendermaßen aus:

g: \vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0

\vec{p} ist wieder der Vektor eines Aufpunktes P und \vec{n} ist der Normalenvektor der Gerade.

Wichtig

Eine Gerade kannst du mit der Normalenform nur im \mathbb{R}^2 beschreiben. Im dreidimensionalen Raum gibt es für sie nämlich keinen eindeutigen Normalenvektor.

Beispiel

Die Gerade g besitzt den Punkt P(3|4) und den Normalenvektor \vec{n} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array}\right).

Zunächst benötigst du wieder den Vektor des Aufpunkt \vec{p}. Er ergibt sich einfach aus dem Punkt P und lautet \vec{p}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right) \right)

Die Normalenform von g sieht also wie folgt aus:

g: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \left( \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right) \right) = 0

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Normalenform Gerade

Normalenform Ebene

Analog zur Geraden sieht die Normalenform einer Ebene folgendermaßen aus:

E: \vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0

Der einzige Unterschied ist, dass die Vektoren im dreidimensionalen \mathbb{R}^3 liegen und entsprechend drei Koordinaten besitzen.

Beispiel

Die Ebene E = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) besitzt den Punkt P(2|2|3) und den Normalenvektor \vec{n} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right). Demnach lautet sein Normalenvektor:

E: \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \left( \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \right) = 0

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Normalenform Ebene

Parameterform

Neben der Normalenform kannst du jede Gerade und Ebene auch mit der Parameterform und der Koordinatenform darstellen. Damit du alle Aufgaben einfach lösen kannst, solltest du auf jeden Fall alle drei Formen kennen.  Mache gleich weiter und schau dir unser Video zur Parameterform an!

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Zum Video: Parameterform

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