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Flächenberechnung

Bei der Flächenberechnung brauchst du für jede Figur eine eigene Formel. Welche das sind und wie du damit rechnen kannst, erfährst du hier und im Video.

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Inhaltsübersicht

Flächenformeln den Figuren zuordnen

Die folgende Tabelle zeigt dir für jede Figur die passende Formel und die benötigten Maße.

	Figur	Formel	Benötigte Maße
direkt ins Video springen	Quadrat	A = a²	Seite a
direkt ins Video springen	Rechteck	A = a · b	Seiten a und b
direkt ins Video springen	Parallelogramm	A = a · h_a	Grundseite a, senkrechte Höhe h_a
direkt ins Video springen	Trapez	$A = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h$ oder A = m · h	Grundseiten a, c und Höhe h oder Mittellinie e und f
direkt ins Video springen	Dreieck	$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$	Grundseite c, senkrechte Höhe h
direkt ins Video springen	Raute	$A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$	Diagonalen e und f
direkt ins Video springen	Drachen	$A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$	Diagonalen e und f
direkt ins Video springen	Kreis	A = π · r²	Radius r

So berechnest du den Flächeninhalt eines Quadrats

Die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats lautet:

A = a²

Du nimmst also die Seitenlänge a und multiplizierst sie mit sich selbst.

Manchmal gibt dir eine Aufgabe jedoch nicht die Seitenlänge a, sondern die Diagonale d. Die Diagonale eines Quadrats hängt mit der Seite über folgende Beziehung zusammen:

$d = a \cdot \sqrt{2}$

Wenn du das nach a² umformst, erhältst du eine direkte Formel für den Flächeninhalt:

$A = \frac{d^2}{2}$

➡️Beispiel:

Ein Quadrat hat die Diagonale d = 6 cm. Berechne den Flächeninhalt. Das setzt du nur in die Formel ein und rechnest aus:

$A = \frac{d^2}{2} = \frac{(6 \text{ cm})^2}{2} = \frac{36 \text{ cm}^2}{2} = 18 \text{ cm}^2$

Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt 18 cm².

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So berechnest du den Flächeninhalt eines Rechtecks

Das Rechteck ist eine einfache Figur bei der Flächenberechnung. Die Formel lautet:

A = a · b

Dabei ist a die Länge und b die Breite des Rechtecks.

Das Bild zeigt ein Rechteck mit den Seiten a und b.

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➡️Beispiel:

Ein Teppich ist 2,5 m lang und 180 cm breit. Berechne seinen Flächeninhalt. Da a und b nicht dieselbe Einheit haben, musst du erstmal umrechnen.

180 cm → 1,8 m
A = a · b = 2,5 m · 1,8 m = 4,5 m²

Der Flächeninhalt des Teppichs beträgt 4,5 m².

So berechnest du den Flächeninhalt eines Dreiecks

Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet:

$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

Dabei ist g die Grundseite und h die senkrechte Höhe zu dieser Grundseite.

Die Höhe h steht immer im rechten Winkel auf der Grundseite g. Die Schenkel des Dreiecks sind also nicht automatisch die Höhe! Achte daher besonders auf diese zwei Fälle:

Spitzwinkliges Dreieck: Die Höhe fällt auf die Grundseite selbst. Du erkennst sie an dem kleinen Rechteckssymbol in der Skizze.	direkt ins Video springen
Stumpfwinkliges Dreieck: Die Höhe fällt außerhalb der Grundseite. Verlängere die Grundseite gedanklich und zeichne dann die Senkrechte ein.	direkt ins Video springen

Wichtig: Bei einem rechtwinkligen Dreieck, fällt eine Seite im rechten Winkel auf die Grundseite. In dem Fall ist das auch die Höhe!

➡️Beispiel:

Ein Dreieck hat die Grundseite g = 8 cm und die zugehörige senkrechte Höhe h = 5 cm.

$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 20 \text{ cm}^2$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 20 cm².

So berechnest du den Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beim Parallelogramm lautet die Formel:

A = a · h_a

Dabei ist a die Grundseite und h_a die senkrechte Höhe zu dieser Grundseite. Achte auch hier darauf, nicht versehentlich eine der schrägen Seiten als Höhe zu nehmen.

Das Bild zeigt ein Parallelogramm, bei dem die Höhe auf die Grundseite a fällt.

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➡️Beispiel:

Ein Parallelogramm hat die Seiten a = 9 cm und die Höhe h_a = 4 cm.

A = a · h_a = 9 cm · 4 cm = 36 cm²

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt 36 cm².

So berechnest du den Flächeninhalt eines Trapez

Beim Trapez gibt es zwei parallele Grundseiten: a (die längere) und c (die kürzere). Die Höhe h steht senkrecht zwischen diesen beiden Seiten. Die Formel sieht so aus:

Das Bild zeigt ein Trapez, bei dem die Höhe auf die Grundseite a fällt.

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$A = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h$

➡️Beispiel:

Ein Trapez hat die Grundseiten a = 10 cm und c = 6 cm sowie die Höhe h = 4 cm.

$A = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (10 \text{ cm} + 6 \text{ cm}) \cdot 4 \text{ cm} = \frac{1}{2} \cdot 16 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 32 \text{ cm}^2$

Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt 32 cm².

So berechnest du den Flächeninhalt von Rauten und Drachen

Raute und Drachen teilen sich dieselbe Formel:

$A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$

Dabei sind e und f die beiden Diagonalen der Figur. In der Skizze erkennst du sie als die Strecken, die die gegenüberliegenden Ecken verbinden und sich dabei kreuzen.

Die beiden Figuren unterscheiden sich jedoch in ihrer Form:

Das Bild zeigt einen Vergleich zwischen einer Raute und einem Drachenviereck. Bei der Raute sind alle vier Seiten gleich lang, bei einem Drachenviereck jeweils die benachbarte Seiten.

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Raute: Alle vier Seiten sind gleich lang.
Drachen: Je zwei benachbarte Seiten sind gleich lang, also zwei Paare.

➡️Beispiel – Raute:

Eine Raute hat die Diagonalen e = 8 cm und f = 6 cm.

$A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2$

Der Flächeninhalt der Raute beträgt 24 cm².

➡️Beispiel – Drachen:

Ein Drachenviereck hat die Diagonalen e = 10 m und f = 7 m.

$A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ m} \cdot 7 \text{ m} = 35 \text{ m}^2$

Der Flächeninhalt des Drachenvierecks beträgt 35 m².

Wie berechnest du den Flächeninhalt eines Kreises

Für den Flächeninhalt eines Kreises gilt:

A = π · r²

Das Bild zeigt einen Kreis, bei dem r der Radius und d der Durchmesser ist.

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Dabei ist r der Radius, also der Abstand vom Mittelpunkt bis zum Rand des Kreises.

Wichtig: Wenn beim Kreis nur der Durchmesser d gegeben ist, berechnest du zuerst den Radius mit r = d/2 und setzt ihn dann in die Formel ein.

➡️Beispiel

Ein runder Brunnen hat einen Durchmesser von d = 3 m. Um die Formel für den Flächeninhalt nutzen zu können, berechnest du zuerst den Radius.

$r = \frac{d}{2} = \frac{3 \text{ m}}{2} = 1{,}5 \text{ m}$

Dann kannst du einsetzen:

$A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (1{,}5 \text{ m})^2 = \pi \cdot 2{,}25 \text{ m}^2 \approx 7{,}07 \text{ m}^2$

Der Flächeninhalt des Brunnens beträgt ca. 7,07 m².

Welche Formel passt zu meiner Figur?

Stehst du vor einer Textaufgabe und weißt nicht, welche Formel du nutzen sollst? Gehe diese Checkliste durch:

Quadrat: Alle vier Seiten sind gleich lang und die Ecken bilden perfekte rechte Winkel.
Rechteck: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel. Die Ecken stehen im rechten Winkel.
Parallelogramm: Die Seiten sind genauso paarweise parallel wie beim Rechteck, aber die Figur ist zur Seite gekippt.
Trapez: Nur zwei gegenüberliegende Seiten laufen parallel (meistens unten und oben). Die anderen beiden Seiten laufen schräg aufeinander zu.
Raute: Alle vier Seiten sind zwar gleich lang, aber die Figur ist „schief“ verschoben. Es gibt keine rechten Winkel in den Ecken. Stattdessen nutzt du hier die Diagonalen e und f, die sich im Inneren wie ein perfektes Kreuz schneiden.
Drache: Im Gegensatz zur Raute sind hier nicht alle vier Seiten gleich lang. Stattdessen sind jeweils zwei nebeneinanderliegende Seiten gleich lang (zwei kurze Seiten oben, zwei lange Seiten unten).

Flächen verstehen

Die Flächenberechnung gehört zur Geometrie und ist ein wichtiges Thema in der Mathematik. Wer sich mit Flächen beschäftigt, ordnet Figuren den passenden Formeln zu und vergleicht Seiten, Höhen, Diagonalen und Radien. Im Mathematikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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