Abstand windschiefer Geraden
In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du den Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen kannst. Du findest schrittweise Rechnungsanleitungen und passende Beispiele zur Berechnung mit Hilfe der Formel und der Lotfußpunktverfahren.
Für eine kurze und anschauliche Erklärung der Abstandsberechnung kannst du dir auch unser Video zum Thema Abstand windschiefer Geraden ansehen.
Inhaltsübersicht
Abstand windschiefer Geraden einfach erklärt
Zwei Geraden bezeichnet man als windschief, wenn sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen und nicht parallel zueinander stehen. Genauer stehen zwei Geraden windschief zueinander, wenn
- ihre Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander sind
- bei der Bestimmung des Schnittpunkts eine falsche Aussage entsteht (es existiert kein Schnittpunkt).
Reicht es zur Lösung einer Aufgabe aus, nur den Abstand zu berechnen, dann können wir ganz einfach den Formelansatz anwenden. Wird jedoch neben der Distanz zwischen den Geraden auch die Bestimmung der Punkte auf den Geraden verlangt, an denen diese sich am nächsten kommen, rechnen wir am besten mit einem der Lotfußpunktverfahren.
Im Folgenden erklären wir dir nacheinander alle drei Lösungswege und rechnen jeweils ein ausführliches Beispiel durch.
Abstand windschiefer Geraden Formel
Die Abstandsformel der Geraden macht immer dann Sinn, wenn nur nach dem Abstand gefragt ist. Die Koordinaten der Punkte auf den Geraden, in denen diese sich am nächsten kommen, berechnet man hierbei nicht. Gesucht ist der Abstand der windschiefen Geraden und .
: Vektor des Aufpunktes von
: Vektor des Aufpunkts von
: Normalenvektor
Um die kürzeste Distanz zwischen zwei windschiefen Geraden mit der Abstandsformel zu bestimmen, musst du folgende Rechenschritte durchgehen:
- Normalenvektor mit Hilfe des Kreuzproduktes () berechnen
- Vektor von Vektor abziehen. Ergebnis ist der Verbindungsvektor
- Skalarprodukt aus und bilden
- Betrag des Skalarprodukts durch Betrag von teilen
Beispielaufgabe – Formel
Wir suchen den Abstand der Geraden und .
Zur Berechnung der Formel müssen wir zunächst den Normalenvektor der beiden Geraden berechnen. Dazu bilden wir das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Jetzt können wir den Normalenvektor und die Aufpunkte der Geradengleichungen in die Formel der Abstandsberechnung einsetzen.
An dieser Stelle müssen die Beträge bestimmt und danach geteilt werden. Als Ergebnis erhalten wir einen Abstand von rund 0,8 LE zwischen den windschiefen Geraden.
Abstand windschiefer Geraden mit Hilfsebene
Der Berechnungsweg mit Hilfe einer Hilfsebene entspricht einem der beiden Lotfußpunktverfahren . Im Vergleich zur Formel erhält man über die Hilfsebene zusätzlich zur Entfernung der Geraden auch die Punkte, in denen sich die Geraden am nächsten kommen. Die Hilfsebene wählen wir dabei so, dass sie eine der Geraden enthält und ihr zweiter Richtungsvektor (siehe Grafik: ) senkrecht auf den Richtungsvektoren beider Geraden steht.
Den Abstand der windschiefen Geraden und lässt sich folgendermaßen berechnen:
- Bestimmung des Vektors , der senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht ()
- Konstruktion einer Hilfsebene
- Berechnung der Lotfußpunkte (Schnittpunkte) und der Ebene mit den Geraden und
- Bestimmung des Abstands der windschiefen Geraden:
Beispiel „Hilfsebene“
Weiterhin ist der Abstand der Geraden und gesucht.
1. bestimmen
Um einen Vektor zu erhalten, der auf beiden Richtungsvektoren der Geraden senkrecht steht, bilden wir das Vektorprodukt aus und .
2. aufstellen
Mit Hilfe des Vektors und der Geradengleichung von können wir jetzt die Gleichung der Hilfsebene aufstellen.
3. Lotfußpunkte berechnen
Da wir die Ebene im vorherigen Schritt so definiert haben, dass sie die Gerade enthält, bestimmen wir nun den Schnittpunkt der Ebene mit . Hierzu setzt man Ebenen- und Geradengleichung gleich.
Die Zeilen können wir nun in ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten umwandeln.
Nach mehreren Auflösungsschritten erhalten wir ein von . Dieser Wert kann anschließend in die Geradengleichung eingesetzt werden und liefert uns dann den Lotfußpunkt .
Um den Fußpunkt auf der Gerade ermitteln zu können, lösen wir das Gleichungssystem nach auf. Für ergibt sich ein Wert von . Eingesetzt in die Geradengleichung erhalten wir den Schnittpunkt .
4. Länge des Vektors bestimmen
Zunächst berechnen wir den Verbindungsvektor der beiden Lotfußpunkte auf den Geraden.
Der gesuchte Abstand der windschiefen Geraden entspricht jetzt dem Betrag dieses Verbindungsvektors der beiden Lotfußpunkte.
Abstand windschiefer Geraden mit laufenden Punkten
Bei dem Lotfußpunktverfahren mit laufenden Punkten berechnen wir zugleich den Abstand und die Punkte auf den windschiefen Geraden, in denen die Distanz minimal ist. Die kürzeste Verbindungslinie muss auf beiden Geraden zugleich senkrecht stehen. Das heißt der minimale Verbindungsvektor (siehe Grafik: ) multipliziert mit den jeweiligen Richtungsvektoren der Geraden ergibt Null. Mit Hilfe dieses Gleichungssystems lassen sich die Lotfußpunkte bestimmen und wir können den Abstand zweier windschiefer Geraden ausrechnen.
Den Abstand der windschiefen Geraden und lässt sich folgendermaßen berechnen:
- Aufstellen des allgemeinen Verbindungsvektors , der die Parameter der beiden windschiefen Geraden enthält
- Gleichungssystem aus den Bedingungen und erstellen
- Auflösen des Gleichungssystem ergibt die Lotfußpunkte und
- Bestimmung des Abstands der windschiefen Geraden:
Beispiel „laufender Punkt“
Wir suchen den Abstand der Geraden und .
1. Allgemeinen Verbindungsvektor aufstellen
Im ersten Schritt bilden wir die allgemeinen Geradenpunkte („laufende Punkte“) und , deren Koordinaten den Zeilen der Geradengleichungen entsprechen.
Jetzt können wir den allgemeinen Verbindungsvektor berechnen, indem wir von abziehen.
2. Gleichungssystem aufstellen
Der Verbindungsvektor ist dann am kürzesten, wenn er senkrecht auf den Geraden steht. Den Abstand erhalten wir also zwischen den Punkten, in denen das Skalarprodukt aus und den Richtungsvektoren gleich 0 ist. Wir können also folgende zwei Funktionen aufstellen:
(Gleichung I)
(Gleichung II)
3. Gleichungssystem lösen
Das Gleichungssystem haben wir ja bereits im vorherigen Schritt bestimmt. Es sieht folgendermaßen aus:
I
II
Hier bietet sich eine Lösung mit Hilfe des Additionsverfahrens an ().
Um den Wert für zu erhalten, müssen wir jetzt dieses in die Gleichung II einsetzen.
Anschließend können wir die Koordinaten der Lotfußpunkte ermitteln, indem wir diese Ergebnisse in die laufenden Punkte aus Schritt 1 einsetzen.
4. Verbindungsvektor aufstellen und Länge berechnen
Die Lotfußpunkte haben wir jetzt bestimmt. Ziehen wir ihre Vektoren voneinander ab, so erhalten wir den Verbindungsvektor .
Der Betrag bzw. die Länge des Verbindungsvektors entspricht dem minimalen Abstand zwischen den windschiefen Geraden.
Abstandsrechnungen in der Geometrie
Abstände kannst du in der Geometrie zwischen verschiedenen Objekten bestimmen. Zum Glück haben wir zu all diesen Themen eigene Beiträge für dich:
- Abstand zwischen zwei Punkten (Abstand zweier Punkte )
- Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden (Abstand Punkt Gerade )
- Abstand zwischen zwei Geraden (Abstand Gerade Gerade
)
- wenn die Geraden parallel verlaufen (Abstand Gerade Gerade )
- wenn die Geraden windschief zueinanderstehen
- Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene (Abstand Punkt Ebene )
- Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene (Abstand Gerade Ebene )