Wie prüfe ich, ob a und c überhaupt ein Dreieck ergeben?

Du prüfst, ob a und c ein Dreieck ergeben, indem du die Dreiecksungleichung anwendest: Die Summe zweier Seiten muss größer als die dritte sein. Beim gleichschenkligen Dreieck gilt daher und außerdem sowie .

Warum teilt die Höhe im gleichschenkligen Dreieck die Basis genau halb?

Die Höhe auf die Basis teilt die Basis im gleichschenkligen Dreieck halb, weil das Dreieck eine Symmetrieachse durch die Spitze und den Mittelpunkt der Basis hat. Diese Symmetrie macht die Höhe gleichzeitig zur Seitenhalbierenden (Median) der Basis, daher entstehen zwei gleich lange Basisstücke.

Wie berechne ich die Schenkellänge a, wenn c und hc gegeben sind?

Du berechnest die Schenkellänge , indem du den Satz des Pythagoras im entstehenden rechtwinkligen Teildreieck nutzt: . Daraus folgt .

Welche Fehler passieren oft beim Rechnen mit der Wurzel in der Höhenformel?

Häufige Fehler bei der Wurzel in sind: das fälschlich in die Wurzel zu ziehen und nur statt abzuziehen. Beispiel: Falsch ist , richtig bleibt .

Wie unterscheide ich ein gleichschenkliges Dreieck vom gleichseitigen Dreieck?

Ein gleichschenkliges Dreieck erkennst du daran, dass genau zwei Seiten gleich lang sind, beim gleichseitigen sind alle drei Seiten gleich lang. Dadurch hat das gleichseitige Dreieck auch drei gleich große Winkel (jeweils ), während beim gleichschenkligen nur die beiden Basiswinkel gleich sind.

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Gleichschenkliges Dreieck

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was ist ein gleichschenkliges Dreieck?

(00:12)

Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck

(01:17)

Umfang gleichschenkliges Dreieck

(00:35)

Höhe gleichschenkliges Dreieck

(02:35)

Hier erklären wir dir, was ein gleichschenkliges Dreieck ist und wie du den Flächeninhalt, die Höhe und den Umfang beim gleichschenkligen Dreieck berechnen kannst. Du willst dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir einfach unser Video an!

Inhaltsübersicht

Was ist ein gleichschenkliges Dreieck?

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(00:12)

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem zwei Seiten genau gleich lang sind.

Dieses besondere Dreieck hat einige Eigenschaften.

Die beiden Seiten a (Schenkel) sind gleich lang.
Die Seite c heißt Basis.
Die zwei Basiswinkel $\textcolor{blue}{\alpha}$ sind gleich groß.

Gleichschenkliges Dreieck, Dreieck, Schenkel — Gleichschenkliges Dreieck

Die Höhe $\textcolor{orange}{h_c}$ auf der Basisseite c ist eine Symmetrieachse.
Die Höhe der Basis $\textcolor{orange}{h_c}$ ist gleichzeitig die Mittelsenkrechte und Seitenhalbierende der Basis c. Außerdem ist diese Linie auch noch die Winkelhalbierende des Winkels gegenüber.

Gleichschenkliges Dreieck Formeln

Hier findest du zu den wichtigsten Größen im gleichschenkligen Dreieck die Formel zum Berechnen.

Flächeninhalt: $A = \frac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4a^2-c^2}$

Umfang: U=2a + c

Höhe: $h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2-c^2}$

Die Berechnung im gleichschenkligen Dreieck mit diesen Formeln schauen wir uns jetzt genauer an.

Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck

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(01:17)

Der Flächeninhalt im gleichschenkligen Dreieck umfasst alle Punkte, die im Dreieck und auf den Seiten liegen. Für ein gleichschenkliges Dreieck mit Fläche A, brauchst du die Seitenlängen a und c zum berechnen.

$A=\frac{1}{4} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sqrt{4 \cdot \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{c}^2}$

gleichschenkliges Dreieck Flächeninhalt, Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck — Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck

Schauen wir uns gleich mal an ein paar Beispielen an, wie du diesen Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen kannst.

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Beispiel 1

Gegeben ist zur Berechnung der Fläche ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Schenkeln $\textcolor{blue}{a=5\text{cm}}$ und der Länge der Basis $\textcolor{red}{c=8\text{cm}}$ . Mit diesen Angaben kannst du den Flächeninhalt im gleichschenkligen Dreieck ganz einfach berechnen.

Formel aufstellen

$A=\frac{1}{4} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sqrt{4 \cdot \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{c}^2}$

Angaben einsetzen

$A = \frac{1}{4} \cdot \textcolor{red}{8\text{cm}} \cdot \sqrt{4 \cdot (\textcolor{blue}{5\text{cm}})^2 - (\textcolor{red}{8\text{cm}})^2$

Ergebnis berechnen

$A= 2\text{cm} \cdot \sqrt{36\text{cm}^2} = 2\text{cm} \cdot 6\text{cm} = 12\text{cm}^2$

Beispiel 2

Du sollst ein gleichschenkliges Dreieck berechnen, das zwei Schenkel mit Seitenlänge $\textcolor{blue}{a=400\text{cm}}$ und eine Seite mit Länge $\textcolor{red}{c=6\text{m}}$ hat. Gesucht ist der Flächeninhalt.

Angabe umrechnen

$\textcolor{blue}{a}=400\text{cm} = 4\text{m}$

Formel aufstellen

$A= \frac{1}{4} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sqrt{4 \cdot \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{c}^2}$

Angaben einsetzen

$A = \frac{1}{4} \cdot \textcolor{red}{6\text{m}} \cdot \sqrt{4 \cdot (\textcolor{blue}{4\text{m}})^2 - (\textcolor{red}{6\text{m}})^2}$

Ergebnis berechnen

$A = \frac{3}{2}\text{m} \cdot \sqrt{64\text{m}^2 - 36\text{m}^2} = \frac{3}{2}\text{m} \cdot \sqrt{28\text{m}^2} =3\sqrt{7}\text{m}^2 \approx 7,94\text{m}^2$

Beispiel 3

Gegeben ist zur Berechnung vom Flächeninhalt ein gleichschenkliges Dreieck mit Seitenlänge $\textcolor{red}{c=7\text{cm}}$ und Höhe $\textcolor{orange}{h_c=5\text{cm}}$ . Hier nutzt du zum Bestimmen die Formel für den Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks , weil eine Seite und die dazugehörige Höhe gegeben sind.

Formel aufstellen

$A = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \textcolor{orange}{h_c}$

Angaben einsetzen

$A = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{7\text{cm}} \cdot \textcolor{orange}{5\text{cm}}$

Ergebnis berechnen

$A = \frac{1}{2} \cdot 35\text{cm}^2 = 17,5\text{cm}^2$

Gleichschenkliges Dreieck Formel Herleitung

Die Formel für den Flächeninhalt im gleichschenkligen Dreieck ergibt sich aus dem Flächeninhalt im allgemeinen Dreieck. Dort gilt

$A=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .

Dabei bezeichnet g eine Grundseite des Dreiecks und h die dazugehörige Höhe. Hast du für den Flächeninhalt ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basisseite c und der Höhe h_c , dann ergibt sich

$A=\frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$ .

Außerdem gibt es für diese Höhe h_c im gleichschenkligen Dreieck eine extra Formel, die du später auch nochmal genauer kennenlernen wirst.

$h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}$

Jetzt musst du nur noch diese Höhe in die allgemeine Formel für den Flächeninhalt einfügen und die Gleichung zusammenfassen.

$\begin{align*} A &= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \\ &= \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot c \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2} \\ &= \frac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2} \end{align*}$

Umfang gleichschenkliges Dreieck

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(00:35)

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten, deshalb ergibt sich eine Formel für den Umfang.

$U = 2 \cdot \textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{c}$

Umfang gleichschenkliges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck Umfang, gleichschenkliges Dreieck — Umfang gleichschenkliges Dreieck

Höhe gleichschenkliges Dreieck

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(02:35)

Auch für die Höhe im gleichschenkligen Dreieck gibt es eine extra Formel. Damit kannst du die Höhe h_c einfach und schnell berechnen.

$\textcolor{orange}{h_c} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \textcolor{blue}{a}^2- \textcolor{red}{c}^2}$

Höhe gleichschenkliges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck Höhe, gleichschenkliges Dreieck — Höhe gleichschenkliges Dreieck

Diese Formel für die Höhe im gleichschenkligen Dreieck ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras . Dieser gilt im Dreieck aus einem der Schenkel a, der Hälfte der Basisseite c und der Höhe h_c .

$a^2=h_c^2+(\frac{c}{2})^2$

Gleichschenkliges Dreieck c berechnen

Hast du ein gleichschenkliges Dreieck mit Höhe und Schenkel a gegeben, dann kannst du daraus die Basis c berechnen. Sehen wir uns das gleich an einem Beispiel an. Dabei ist die Höhe $h_c = 9\text{cm}$ und die Seitenlänge der Schenkel $a=10\text{cm}$ .

Formel aufstellen: Zuerst überlegst du dir, welche Formel dir hier weiterhelfen kann. In diesem Fall bietet sich die Formel zur Höhe im gleichschenkligen Dreieck an.

$h_c=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2-c^2}$

Nach c auflösen: Um im gleichschenkligen Dreieck c berechnen zu können, löst du die Formel jetzt nach c auf.

$\begin{align*} h_c &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2-c^2} && | \cdot 2 \\ 2 \cdot h_c &= \sqrt{4a^2-c^2} && |...^2 \\ (2 \cdot h_c)^2 &=4a^2-c^2 && |+c^2 \\ c^2+(2h_c)^2 &= 4a^2 && |- (2h_c)^2 \\ c^2 &= 4a^2-(2h_c)^2 && | \sqrt{...} \\ c &= \sqrt{4a^2-(2h_c)^2} \\ &= \sqrt{4a^2-2h_c^2} \\ &= \sqrt{4 \cdot (a^2-h_c^2)} \\ &= 2 \cdot \sqrt{a^2-h_c^2} \end{align*}$

Angaben einsetzen und ausrechnen

$c=2 \cdot \sqrt{a^2-h_c^2} = 2 \cdot \sqrt{(10\text{cm})^2-(9\text{cm})^2} = 2 \cdot \sqrt{100\text{cm}^2-81\text{cm}^2}$

$=2 \cdot \sqrt{19\text{cm}^2} =2\sqrt{19}\text{cm} \approx 8,72\text{cm}$

So kannst du für ein gleichschenkliges Dreieck Seiten berechnen.

Hinweis: Ein gleichschenkliges Dreieck besitzt Winkel, für die der sogenannte Basiswinkelsatz gilt. Die beiden Winkel an der Basis c sind gleich groß.

Gleichschenkliges Dreieck — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie prüfe ich, ob a und c überhaupt ein Dreieck ergeben?

Du prüfst, ob a und c ein Dreieck ergeben, indem du die Dreiecksungleichung anwendest: Die Summe zweier Seiten muss größer als die dritte sein. Beim gleichschenkligen Dreieck gilt daher und außerdem sowie .
Warum teilt die Höhe im gleichschenkligen Dreieck die Basis genau halb?

Die Höhe auf die Basis teilt die Basis im gleichschenkligen Dreieck halb, weil das Dreieck eine Symmetrieachse durch die Spitze und den Mittelpunkt der Basis hat. Diese Symmetrie macht die Höhe gleichzeitig zur Seitenhalbierenden (Median) der Basis, daher entstehen zwei gleich lange Basisstücke.
Wie berechne ich die Schenkellänge a, wenn c und h_c gegeben sind?

Du berechnest die Schenkellänge , indem du den Satz des Pythagoras im entstehenden rechtwinkligen Teildreieck nutzt: $a^2 = h_c^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2$ . Daraus folgt $a = \sqrt{h_c^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2}$ .
Welche Fehler passieren oft beim Rechnen mit der Wurzel in der Höhenformel?

Häufige Fehler bei der Wurzel in $h_c=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-c^2}$ sind: das $\frac{1}{2}$ fälschlich in die Wurzel zu ziehen und nur statt abzuziehen. Beispiel: Falsch ist $\sqrt{4a^2-c}$ , richtig bleibt $\sqrt{4a^2-c^2}$ .
Wie unterscheide ich ein gleichschenkliges Dreieck vom gleichseitigen Dreieck?

Ein gleichschenkliges Dreieck erkennst du daran, dass genau zwei Seiten gleich lang sind, beim gleichseitigen sind alle drei Seiten gleich lang. Dadurch hat das gleichseitige Dreieck auch drei gleich große Winkel (jeweils $60^\circ$ ), während beim gleichschenkligen nur die beiden Basiswinkel gleich sind.

Andere besondere Dreiecke

Jetzt weißt du alles Wichtige über gleichschenklige Dreiecke. Es gibt aber noch andere besondere Dreiecke, zum Beispiel das gleichseitige Dreieck. Schau dir gleich unser Video an, um alles über das gleichseitige Dreieck zu lernen!