Wie erkenne ich, ob ich die Höhe h oder die Seitenhöhe m brauche?

Du brauchst die Höhe , wenn du das Volumen berechnest, und die Seitenhöhe , wenn du die Mantelfläche oder die Oberfläche berechnest. ist die senkrechte Strecke zwischen Grund- und Deckfläche, ist die schräge Kante entlang der Mantelfläche.

Welche Fehler passieren oft beim Einsetzen von r₁ und r₂?

Häufig werden und vertauscht oder es wird statt der Radien der Durchmesser eingesetzt. Außerdem wird bei manchmal das Vorzeichen falsch gewählt. Beispiel: Sind 12 cm und 8 cm Durchmesser gegeben, dann gilt und .

Wie rechne ich das Volumen vom Kegelstumpf über zwei Kegel?

Das Volumen des Kegelstumpfs lässt sich als Differenz zweier Kegel berechnen: Volumen großer Kegel minus Volumen abgeschnittener kleiner Kegel. Dafür brauchen beide Kegel dieselbe Spitze, also ähnliche Kegel. Die fehlenden Höhen erhält man über Ähnlichkeit, zum Beispiel mit .

Warum ist die Mantelfläche beim Kegelstumpf kein Rechteck?

Die Mantelfläche ist kein Rechteck, weil der Umfang unten und oben verschieden ist und die Mantellinie schräg verläuft. Beim Abwickeln entsteht deshalb ein Kreissektor-Ring (ein „Ringstück“), dessen innere und äußere Bogenlänge zu den beiden Kreisumfängen passen.

Wann muss ich bei Volumen und Oberfläche die Einheiten umrechnen?

Du musst Einheiten umrechnen, sobald in einer Aufgabe unterschiedliche Längeneinheiten vorkommen, zum Beispiel cm und m, weil sonst Flächen und Volumina falsch berechnet werden. Rechne vor dem Einsetzen alles in dieselbe Längeneinheit um. Für Ergebnisse gilt: Oberfläche in Quadrat-Einheiten, Volumen in Kubik-Einheiten.

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Kegelstumpf

Wichtige Inhalte in diesem Video

Kegelstumpf einfach erklärt

(00:12)

Kegelstumpf berechnen

(00:50)

Volumen Kegelstumpf

(02:57)

Kegelstumpf Mantelfläche und Oberfläche

(01:48)

In diesem Beitrag zeigen wir dir, wie ein Kegelstumpf aussieht und erklären dir, wie du sein Volumen und seine Oberfläche berechnen kannst. Schau dir auch einfach unser Video dazu an, wenn es dir für heute mit dem Lesen reicht!

Inhaltsübersicht

Kegelstumpf einfach erklärt

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(00:12)

Ein Kegelstumpf oder Konus ist ein Körper, der eng mit dem Kegel verwandt ist. Du kannst ihn dir als einen normalen Kegel vorstellen, dessen Spitze abgeschnitten wurde.

Kegel, Kegelstumpf, Volumen Kegelstump, Kegelstumpf Abwicklung — Kegel und Kegelstumpf

Im Gegensatz zum Kegel hat er also nicht nur eine Grundfläche, sondern auch eine Deckfläche. Das ist die Stelle, an der seine Spitze abgeschnitten wurde. Die Fläche, die zwischen Grundfläche und Deckfläche liegt, nennst du Mantelfläche. Als Beispiel für einen Konus aus der echten Welt kannst du dir einen Eimer vorstellen.

Kegelstumpf berechnen

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(00:50)

Wie bei allen Körpern gibt es zwei wichtige Maße, die du beim Konus berechnen kannst. Das sind das Volumen und die Oberfläche. Dazu schaust du dir die Einheiten an, die du hier siehst.

Kegel, Kegelstumpf, Volumen Kegelstumpf, Radius, Höhe, Oberfläche Kegelstumpf — Stumpfmaße

die Höhe h
der Radius der Grundfläche $\textcolor{blue}{r_1}$
der Radius der Deckfläche $\textcolor{teal}{r_2}$
die Seitenhöhe m

Mit ihnen kannst du zum Beispiel für einen Kegelstumpf Abwicklung und Volumen ermitteln. Das hier sind die wichtigsten Kegelstumpf Formeln:

Flächeninhalt Grundfläche	$A_G = (\textcolor{blue}{r_1})^2 \cdot \pi$
Flächeninhalt Deckfläche	$A_D =(\textcolor{teal}{r_2})^2\cdot \pi$
Kegelstumpf Mantelfläche	$A_M = (\textcolor{blue}{r_1} + \textcolor{teal}{r_2}) \cdot \pi \cdot \textbf{m}$
Oberfläche	$O = A_G +A_D + A_M = \pi \cdot [(\textcolor{blue}{r_1})^2 + (\textcolor{teal}{r_2})^2 + (\textcolor{blue}{r_1}+ \textcolor{teal}{r_2}) \cdot \textbf{m}]$
Volumen Kegelstumpf	$V = \frac{\textcolor{red}{h} \ \cdot \ \pi}{3} \cdot [ (\textcolor{blue}{r_1})^2 + (\textcolor{teal}{r_2})^2 + \textcolor{blue}{r_1} \cdot \textcolor{teal}{r_2}]$

Schauen wir uns gleich mal an einem Beispiel an, wie du das Volumen berechnen kannst.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Volumen Kegelstumpf

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(02:57)

Stell dir dazu vor, du hast einen Stumpf mit $\textcolor{blue}{r_1 = 6\text{cm}}$ und $\textcolor{teal}{r_2 = 4\text{cm}}$ sowie der Seitenhöhe $\textbf{m} = 8,25\text{cm}$ .

Kegelstumpf, Volumen Kegelstumpf, Abwicklung Kegelstumpf, Höhe — Gesucht: Volumen Kegelstumpf

Du sollst das Volumen vom Kegelstumpf berechnen. Wie gehst du dazu vor?

1. Formel für Volumen Kegelstumpf aufstellen: Schreib dir am besten zuerst die Formel auf, mit der du das Volumen berechnen kannst.

$V = \frac{\textcolor{red}{h}\ \cdot \ \pi}{3} \cdot [ (\textcolor{blue}{r_1})^2 + (\textcolor{teal}{r_2})^2 + \textcolor{blue}{r_1} \cdot \textcolor{teal}{r_2}]$

$V = \frac{\textcolor{red}{\textbf{?}} \ \cdot \ \pi}{3} \cdot [ (\textcolor{blue}{6\text{cm}})^2 + (\textcolor{teal}{4\text{cm}})^2 + \textcolor{blue}{6 \text{cm}} \cdot \textcolor{teal}{4 \text{cm}}]$

2. Höhe finden: Wenn du dir den Stumpf nochmal anschaust, stellst du fest, dass die Höhe h nicht angegeben ist. Es gibt aber eine Möglichkeit, die Höhe herauszufinden. Dazu verwendest du den Satz des Pythagoras . Das geht, da die Seitenhöhe $\textbf{m}$ , die Höhe h und der Streckenabschnitt $\textcolor{blue}{r_1} - \textcolor{teal}{r_2}$ ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

Höhe im Kegelstumpf, Kegelstumpf, Volumen Kegelstumpf, Oberfläche Kegelstumpf, Volumen, Kegel — Gesucht: Höhe im Kegelstumpf

Der Satz des Pythagoras lautet hier:

$\textbf{m}^2 = \textcolor{red}{h}^2 + (\textcolor{blue}{r_1} - \textcolor{teal}{r_2})^2$

Das löst du nach $\textcolor{red}{h}^2$ auf, indem du $(\textcolor{blue}{r_1} - \textcolor{teal}{r_2})^2$ abziehst.

$\textcolor{red}{h}^2 = \textbf{m}^2 - (\textcolor{blue}{r_1} - \textcolor{teal}{r_2})^2$

Um nur h zu bekommen, ziehst du jetzt noch die Wurzel.

$\textcolor{red}{h} = \sqrt{\textbf{m}^2 - (\textcolor{blue}{r_1} - \textcolor{teal}{r_2})^2}$

3. Höhe berechnen: Du hast den Satz vom Pythagoras nach h aufgelöst. In die Formel für die Höhe setzt du jetzt $\textcolor{blue}{r_1 = 6\text{cm}}$ , $\textcolor{teal}{r_2 = 4\text{cm}}$ und $\textbf{m} = 8,25cm$ ein.

$\textcolor{red}{h} = \sqrt{(8,25\text{cm})^2 - (\textcolor{blue}{6\text{cm}} - \textcolor{teal}{4\text{cm}})^2}$

$\textcolor{red}{h} \approx \textcolor{red}{8\text{cm}}$

4. Volumen Kegelstumpf berechnen: Die fehlende Höhe h hast du also gefunden. Jetzt setzt du den gerade berechneten Wert $\textcolor{red}{h = 8\text{cm}}$ und die beiden Radien $\textcolor{blue}{r_1 = 6\text{cm}}$ und $\textcolor{teal}{r_2 = 4\text{cm}}$ in die Formel für das Volumen ein.

$V = \frac{\textcolor{red}{h} \ \cdot \ \pi}{3} \cdot [ (\textcolor{blue}{r_1})^2 + (\textcolor{teal}{r_2})^2 + \textcolor{blue}{r_1} \cdot \textcolor{teal}{r_2}]$

$V = \frac{\textcolor{red}{8\text{cm}} \ \cdot \ \pi}{3} \cdot [ (\textcolor{blue}{6\text{cm}})^2 + (\textcolor{teal}{4\text{cm}})^2 + \textcolor{blue}{6\text{cm}} \cdot \textcolor{teal}{4\text{cm}}]$

Das berechnest du einfach mit deinem Taschenrechner.

Der Kegelstumpf hat also ein Volumen von $636,7\text{cm}^3$ . Super! Machen wir weiter mit seiner Oberfläche.

Kegelstumpf Mantelfläche und Oberfläche

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(01:48)

Jetzt nimm an, du sollst die Oberfläche des Kegelstumpfs berechnen. Sie besteht aus Grundfläche, Deckfläche und Abwicklung bzw. Mantelfläche. Die gesamte Oberfläche kannst du dir mit der rechten Grafik vielleicht noch besser vorstellen.

Abwicklung Kegelstumpf, Kegelstumpf, Kegelstumpf Mantelfläche — Oberfläche und Abwicklung Kegelstumpf

1. Grundfläche berechnen: Berechne als erstes die Grundfläche. Das ist nichts anderes als ein Kreis mit dem Radius $\textcolor{blue}{r_1 = 6\text{cm}}$ .

$A_G = (\textcolor{blue}{r_1})^2 \cdot \pi = (\textcolor{blue}{6\text{cm}})^2 \cdot \pi \approx 113,1\text{cm}^2$

2. Deckfläche berechnen: Die Deckfläche ist ein Kreis mit dem Radius $\textcolor{teal}{r_2 = 4\text{cm}}$ .

$A_D =(\textcolor{teal}{r_2})^2\cdot \pi = (\textcolor{teal}{4\text{cm}})^2 \cdot \pi \approx 50,3\text{cm}^2$

3. Mantelfläche berechnen: Setze die gegeben Werte in die Formel für die Mantelfläche ein.

$A_M = (\textcolor{blue}{r_1} + \textcolor{teal}{r_2}) \cdot \pi \cdot \textbf{m} = (\textcolor{blue}{6\text{cm}} + \textcolor{teal}{4\text{cm}}) \cdot \pi \cdot 8,25\text{cm} \approx 259,2\text{cm}^2$

4. Oberfläche berechnen: Um die ganze Oberfläche zu berechnen, addierst du ihre drei Bestandteile Grund-, Deck- und Mantelfläche.

$O = A_G +A_D + A_M = 113,1\text{cm}^2 + 50,3\text{cm}^2 + 259,2\text{cm}^2 = 422,6 \text{cm}^2$

Das gleiche würdest du herausbekommen, wenn du die Werte in die Formel für die gesamte Oberfläche einsetzt.

$O = \pi \cdot [(\textcolor{blue}{r_1})^2 + (\textcolor{teal}{r_2})^2 + (\textcolor{blue}{r_1}+ \textcolor{teal}{r_2}) \cdot \textbf{m}]$

$O = \pi \cdot [(\textcolor{blue}{6\text{cm}})^2 + (\textcolor{teal}{4\text{cm}})^2 + (\textcolor{blue}{6\text{cm}} +\textcolor{teal}{4\text{cm}}) \cdot 8,25\text{cm}] = 422,6 \text{cm}^2$

Der Kegelstumpf hat also eine Gesamtoberfläche von $422,6 \text{cm}^2$ . Sehr gut!

Kegelstumpf — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich, ob ich die Höhe h oder die Seitenhöhe m brauche?

Du brauchst die Höhe , wenn du das Volumen berechnest, und die Seitenhöhe , wenn du die Mantelfläche oder die Oberfläche berechnest. ist die senkrechte Strecke zwischen Grund- und Deckfläche, ist die schräge Kante entlang der Mantelfläche.
Welche Fehler passieren oft beim Einsetzen von r₁ und r₂?

Häufig werden und vertauscht oder es wird statt der Radien der Durchmesser eingesetzt. Außerdem wird bei manchmal das Vorzeichen falsch gewählt. Beispiel: Sind 12 cm und 8 cm Durchmesser gegeben, dann gilt $r_1 = 6\,\text{cm}$ und $r_2 = 4\,\text{cm}$ .
Wie rechne ich das Volumen vom Kegelstumpf über zwei Kegel?

Das Volumen des Kegelstumpfs lässt sich als Differenz zweier Kegel berechnen: Volumen großer Kegel minus Volumen abgeschnittener kleiner Kegel. Dafür brauchen beide Kegel dieselbe Spitze, also ähnliche Kegel. Die fehlenden Höhen erhält man über Ähnlichkeit, zum Beispiel mit $\frac{r_1}{r_2} = \frac{H}{H-h}$ .
Warum ist die Mantelfläche beim Kegelstumpf kein Rechteck?

Die Mantelfläche ist kein Rechteck, weil der Umfang unten und oben verschieden ist und die Mantellinie schräg verläuft. Beim Abwickeln entsteht deshalb ein Kreissektor-Ring (ein „Ringstück“), dessen innere und äußere Bogenlänge zu den beiden Kreisumfängen passen.
Wann muss ich bei Volumen und Oberfläche die Einheiten umrechnen?

Du musst Einheiten umrechnen, sobald in einer Aufgabe unterschiedliche Längeneinheiten vorkommen, zum Beispiel cm und m, weil sonst Flächen und Volumina falsch berechnet werden. Rechne vor dem Einsetzen alles in dieselbe Längeneinheit um. Für Ergebnisse gilt: Oberfläche in Quadrat-Einheiten, Volumen in Kubik-Einheiten.

Volumen Kegel

Jetzt weißt du also, wie du für einen Kegelstumpf Volumen und Abwicklung berechnen kannst. Da liegt es natürlich auch nahe, dass du das Gleiche für andere geometrische Körper können musst. Schau dir jetzt unbedingt noch unser Video zum Thema Volumen eines Prismas an, damit du mit einem Prisma genauso gut umgehen kannst wie mit einem Kegelstumpf!