Kongruenzsätze
Du möchtest wissen, was die Kongruenzsätze sind und wie du mit ihnen Aufgaben lösen kannst? Dann bist du hier genau richtig! In unserem Video erklären wir es dir anschaulich und mit vielen Beispielen. Schau es dir an!
Inhaltsübersicht
Was sind Kongruenzsätze?
Stell dir vor du hast zwei Dreiecke, die nach ein bisschen Drehen und Schieben ganz genau aufeinanderpassen. In der Mathematik nennt man diese beiden Dreiecke dann kongruent oder deckungsgleich.
Die Kongruenzsätze geben dir eine Liste an verschiedenen Bedingungen, mit denen du prüfen kannst, ob zwei kongruente Dreiecke vorliegen. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn:
- SSS: drei Seiten sind gleich.
- SWS: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gleich.
- WSW: zwei Winkel an einer Seite sind gleich.
- SSW: zwei Seiten und der Winkel, welcher der längeren Seite gegenüberliegt, sind gleich.
Dabei steht das S in den Abkürzungen für gleich lange Seiten und das W für gleich große Winkel. Trifft ein Kongruenzsatz auf zwei Dreiecke zu, dann sind sie deckungsgleich.
Kongruenzsatz SSS
Der erste der Kongruenzsätze sagt dir, dass zwei Dreiecke genau dann deckungsgleich sind, wenn alle drei Seiten gleich lang sind.
Hier siehst du zwei kongruente Dreiecke, weil die gleichfarbigen Seiten jeweils genau gleich lang sind. Du könntest die beiden Formen also ausschneiden und ganz exakt übereinanderlegen.
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Kongruenzsatz SSW
Um den letzten der Kongruenzsätze anwenden zu können, brauchst du zwei gleiche Seiten und einen gleich großen Winkel. Achtung, der Winkel muss dabei der längeren Seite gegenüber liegen! Du findest dafür auch die Bezeichnungen SsW oder SSWg.
Merke: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten und Winkeln übereinstimmen.
Was ist mit WWW?
Es gibt nur die vier Kongruenzsätze. Der Satz WWW gilt nicht! Zwei Dreiecke mit drei gleich großen Winkeln sind also nicht immer deckungsgleich.
Wie du siehst, haben die beiden Dreiecke im Bild jeweils die gleichen Winkel 
und 
. Trotzdem ist das rechte Dreieck deutlich kleiner als das linke. Die beiden Dreiecke sind also nicht kongruent.
Lösung
Ja, die beiden Dreiecke sind kongruent. Beide Dreiecke haben eine Seite mit 6cm Länge und eine 8cm lange Seite. Außerdem ist bei beiden Dreiecken der Winkel von 56° eingetragen. Der Winkel liegt der längeren Seite gegenüber. Deshalb hast du hier kongruente Dreiecke vorliegen, weil der Kongruenzsatz SSW angewendet werden kann.
Lösung
a) Ja, du kannst ein Dreieck konstruieren, denn du hast zwei Seitenlängen und die Größe des eingeschlossenen Winkels gegeben. Nach dem Kongruenzsatz SWS kannst du also ein dazu deckungsgleiches Dreieck konstruieren.
b) Nein, hier kannst du kein eindeutiges Dreieck konstruieren. Weil es keinen WWW-Satz gibt, sind verschieden große Dreiecke möglich.
Kongruenzsätze — häufigste Fragen
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Kongruenzsätze — häufigste Fragen
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Was bedeutet es, wenn zwei Dreiecke kongruent sind?Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie deckungsgleich sind, also nach Drehen und Schieben exakt aufeinanderpassen. Das bedeutet, dass beide Dreiecke in allen Seitenlängen und allen Winkelgrößen übereinstimmen. Dann haben sie genau die gleiche Form und die gleiche Größe.
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Welche Angaben brauche ich für den Kongruenzsatz SSS?Für den Kongruenzsatz SSS brauchst du die Information, dass alle drei Seiten des einen Dreiecks genauso lang sind wie die entsprechenden drei Seiten des anderen Dreiecks. Wenn drei Seitenpaare übereinstimmen, sind die Dreiecke deckungsgleich und damit kongruent.
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Was heißt beim Kongruenzsatz SWS „eingeschlossener Winkel“?Beim Kongruenzsatz SWS ist der „eingeschlossene Winkel“ der Winkel, der genau zwischen den beiden gegebenen Seiten liegt. Gemeint ist also der Winkel, der an dem Eckpunkt entsteht, an dem sich diese beiden Seiten treffen. Nur dann passt der Kongruenzsatz SWS.
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Wann darf ich den Kongruenzsatz SSW benutzen?Den Kongruenzsatz SSW darfst du benutzen, wenn zwei Seiten gleich lang sind und zusätzlich ein Winkel gleich groß ist, der der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt. Konkret: Sind zum Beispiel 6 cm, 8 cm und ein Winkel von 56° gegeben und der Winkel liegt gegenüber der 8-cm-Seite, gilt SSW.
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Warum reicht WWW nicht aus, um Kongruenz zu zeigen?WWW reicht nicht aus, weil drei gleiche Winkel zwar die Form festlegen, aber nicht die Größe. Zwei Dreiecke können also in allen drei Winkeln übereinstimmen und trotzdem unterschiedlich groß sein. Beispiel: Beide Dreiecke haben die Winkel
, 
und 
, aber eines ist deutlich kleiner und daher nicht kongruent.
Satz des Pythagoras
Um die Kongruenzsätze anwenden zu können, brauchst du die Seitenlängen der Dreiecke. Bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du sie mit dem Satz des Pythagoras bestimmen. In unserem Video dazu erklären wir dir was der Satz des Pythagoras ist und wie du die Formel anwenden kannst. Schau es dir gleich an!
