Wie unterscheide ich beim Kegel die Höhe von der Mantellinie?

Die Höhe ist beim Kegel die senkrechte Strecke von der Spitze zum Mittelpunkt der Grundfläche, also „gerade nach unten“. Die Mantellinie ist die schräge Strecke von der Spitze bis zum Randkreis. Im Schnittbild bilden , und ein rechtwinkliges Dreieck.

Wie berechne ich die Mantellinie, wenn Radius und Höhe gegeben sind?

Die Mantellinie berechnest du aus Radius und Höhe mit dem Satz des Pythagoras, weil , und ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Für die Mantellinie gilt . Beispiel: Bei und ist .

Welche Fehler passieren oft beim Einsetzen in die Kegeloberflächen-Formel?

Häufige Fehler sind: Höhe statt Mantellinie in einsetzen und dadurch die Mantelfläche falsch berechnen. Außerdem wird oft der Radius vergessen zu quadrieren oder der Durchmesser als Radius eingesetzt. Beispiel: Bei muss verwendet werden, nicht .

Wann muss ich bei der Kegeloberfläche nur die Mantelfläche berechnen?

Nur die Mantelfläche berechnest du, wenn die Grundfläche nicht zur Oberfläche gehört, also wenn der Kegel unten offen ist oder die Grundfläche nicht mitgerechnet werden soll. Dann gilt statt . Beispiel: Eine offene Eiswaffel hat keine „Bodenfläche“, daher zählt nur der Mantel.

Was mache ich, wenn der Durchmesser statt dem Radius gegeben ist?

Wenn der Durchmesser gegeben ist, rechnest du zuerst den Radius aus, weil alle Kegelformeln den Radius verwenden. Es gilt . Beispiel: Aus cm wird cm, und erst dann setzt du in oder ein.

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Oberfläche Kegel

Wichtige Inhalte in diesem Video

Wie berechnest du die Oberfläche vom Kegel?

(00:11)

Wie berechnest du die Oberfläche eines Kegels Schritt für Schritt?

(02:09)

Volumen Kegel

(02:59)

Du willst wissen, wie du die Oberfläche eines Kegels berechnen kannst? Hier im Beitrag und in unserem Video erfährst du es!

Inhaltsübersicht

Wie berechnest du die Oberfläche vom Kegel?

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(00:11)

Den Kegel kennst du aus dem Alltag in Form von Eiswaffeln, Schultüten oder Turmdächern. Er hat einen Kreis als Grundfläche G und eine Spitze. Die Fläche zwischen Grundfläche und Spitze nennst du Mantelfläche M.

Wenn du diese beiden Flächen addierst, erhältst du die gesamte Oberfläche des Kegels.

Oberfläche O = Grundfläche + Mantelfläche = G + M

Setzt du nun die Formeln für die Grundfläche und die Mantelfläche ein, bekommst du:

O = r² · π + r · π · s

Oberfläche Kegel, Kegel Oberfläche, Kegel Fläche, Oberflächeninhalt Kegel — Oberfläche Kegel

Die Grundfläche hat einen Radius r. Das ist der Abstand vom Kreismittelpunkt bis zum Rand des Kegels. Die Mantellinie s beschreibt den Abstand von der Kreislinie bis zur Spitze.

Wie berechnest du die Oberfläche eines Kegels Schritt für Schritt?

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(02:09)

Um die Oberfläche eines Kegels zu berechnen, musst du die Größe seiner beiden Teilflächen ausrechnen und zusammenzählen.

Um die gesamte Oberfläche zu berechnen, gehst du Schritt für Schritt vor:

Berechne die Grundfläche G
Berechne die Mantelfläche M
Addiere die Flächen G und M

Die Grundfläche des Kegels ist ein Kreis, deshalb berechnest du sie mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:

G = r² · π

Um die Mantelfläche des Kegels zu berechnen, kannst du folgende Formel verwenden:

M = r · π · s

Im letzten Schritt addierst du deine Ergebnisse für G und M nur noch:

O = G + M

Schauen wir uns das mal an einem Beispiel an.

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Oberfläche eines Kegels — Beispiel

Wir betrachten zum Berechnen der Oberfläche einen Kegel mit Radius r = 5 cm und Mantellinie s = 12 cm.

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1. Grundfläche G berechnen:

G = r² · π

G = (5 cm)² · π ≈ 78,5 cm²

2. Mantelfläche M berechnen:

M = r · π · s

M = (5 cm) · π · (12 cm) ≈ 188,5 cm²

3. Flächen addieren:

O = G + M

O = 78,5 cm² + 188,5 cm² = 267 cm²

Die Kegeloberfläche ist in diesem Beispiel also O = 267 cm² groß. Du kannst mit der Formel immer die Fläche beim Kegel berechnen.

Tipp: Alternativ kannst du den Radius und die Mantellinie auch direkt in die Formel O = r² · π + r · π · s einsetzen.

Höhe statt Mantellinie gegeben

Wenn in einem Beispiel nur Radius und Höhe des Kegels gegeben sind, musst du die Mantellinie mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Verwende dafür $\textcolor{red}{s}^2 = \textcolor{blue}{r}^2 + h^2$ .

Oberfläche eines Kegels — Übung

Berechne den Oberflächeninhalt von dem Kegel mit Radius r = 3 cm und Mantellinie s = 8 cm.

Oberfläche Kegel, Kegel Oberfläche, Oberflächeninhalt Kegel, Kegel Fläche — Oberfläche Kegel: Übung

Lösung:

O = r² · π + r · π · s

O = (3 cm)² · π + (3 cm) · π · (8 cm)

O = 9 cm² · π + 24 cm² · π = 33 cm² · π ≈ 103,7 cm²

Damit hat dieser Kegel einen Flächeninhalt von ungefähr 103,7 cm².

Oberfläche Kegel — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie unterscheide ich beim Kegel die Höhe von der Mantellinie?

Die Höhe ist beim Kegel die senkrechte Strecke von der Spitze zum Mittelpunkt der Grundfläche, also „gerade nach unten“. Die Mantellinie ist die schräge Strecke von der Spitze bis zum Randkreis. Im Schnittbild bilden , und ein rechtwinkliges Dreieck.
Wie berechne ich die Mantellinie, wenn Radius und Höhe gegeben sind?

Die Mantellinie berechnest du aus Radius und Höhe mit dem Satz des Pythagoras, weil , und ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Für die Mantellinie gilt $s=\sqrt{r^2+h^2}$ . Beispiel: Bei und ist $s=\sqrt{3^2+4^2}=5$ .
Welche Fehler passieren oft beim Einsetzen in die Kegeloberflächen-Formel?

Häufige Fehler sind: Höhe statt Mantellinie in $O=r^2\pi+r\pi s$ einsetzen und dadurch die Mantelfläche falsch berechnen. Außerdem wird oft der Radius vergessen zu quadrieren oder der Durchmesser als Radius eingesetzt. Beispiel: Bei muss verwendet werden, nicht .
Wann muss ich bei der Kegeloberfläche nur die Mantelfläche berechnen?

Nur die Mantelfläche berechnest du, wenn die Grundfläche nicht zur Oberfläche gehört, also wenn der Kegel unten offen ist oder die Grundfläche nicht mitgerechnet werden soll. Dann gilt $M=r\pi s$ statt . Beispiel: Eine offene Eiswaffel hat keine „Bodenfläche“, daher zählt nur der Mantel.
Was mache ich, wenn der Durchmesser statt dem Radius gegeben ist?

Wenn der Durchmesser gegeben ist, rechnest du zuerst den Radius aus, weil alle Kegelformeln den Radius verwenden. Es gilt $r=\frac{d}{2}$ . Beispiel: Aus cm wird cm, und erst dann setzt du in $G=r^2\pi$ oder $M=r\pi s$ ein.