Wie erkenne ich, ob eine Pyramide regelmäßig ist?

Eine Pyramide ist regelmäßig, wenn die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist (alle Grundkanten gleich lang und alle Winkel gleich groß) und die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt. Dann sind alle Seitendreiecke kongruent, also gleich groß und gleich geformt.

Wie finde ich die Höhe vom Seitendreieck, wenn ich nur die senkrechte Höhe kenne?

Die Höhe des Seitendreiecks (Seitenhöhe) erhältst du aus einem rechtwinkligen Dreieck aus senkrechter Höhe und dem Abstand vom Grundflächenmittelpunkt zur Mitte einer Grundkante (Inkreisradius). Es gilt , wobei dieser Abstand ist.

Welche Fehler passieren oft, wenn ich Grundhöhe und Seitenhöhe verwechsle?

Häufig wird die senkrechte Höhe fälschlich als Dreieckshöhe für die Mantelfläche eingesetzt oder umgekehrt. Beispiel: Für die Mantelfläche muss die Seitenhöhe in stehen, nicht die senkrechte Höhe , weil nicht im Seitendreieck liegt.

Wann darf ich bei einer n-eckigen Pyramide einfach mit n multiplizieren?

Mit darfst du nur dann multiplizieren, wenn die Teilflächen wirklich alle gleich groß sind, also die Grundfläche in kongruente Dreiecke zerfällt und die Seitendreiecke kongruent sind. Das ist typisch bei einer regelmäßigen n-eckigen Pyramide der Fall.

Wie berechne ich die Oberfläche, wenn die Grundkanten nicht gleich lang sind?

Wenn die Grundkanten nicht gleich lang sind, berechnest du die Oberfläche als , aber ohne „mal “. Bestimme aus der tatsächlichen Grundfläche (z. B. Zerlegung in Dreiecke) und addiere für den Mantel alle Seitendreiecke einzeln: .

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Oberfläche Pyramide

Wichtige Inhalte in diesem Video

Oberfläche Pyramide berechnen — einfach erklärt

(00:10)

Oberfläche berechnen — quadratische Pyramide

(00:38)

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du die Oberfläche einer Pyramide berechnen kannst. Schau dir auch gerne unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Oberfläche Pyramide berechnen — einfach erklärt

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(00:10)

Die Oberfläche einer Pyramide besteht aus der Grundfläche G und der Mantelfläche M. Deshalb berechnest du die Oberfläche, indem du Grundfläche und Mantelfläche addierst:

$O = \textcolor{orange}{G} + \textcolor{blue}{M}$ .

Die Grundfläche der Pyramide berechnest du, indem du sie gedanklich in Dreiecke unterteilst. Deshalb verwendest du die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks: $G = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ . Dafür brauchst du die Grundkantenlänge a und die Höhe des Bodendreiecks $\textcolor{orange}{\text{h}_\text{Grundfläche}}$ .

Auch die Mantelfläche setzt sich aus Dreiecken zusammen. Die Oberfläche der Dreiecke berechnest du mit der Grundkantenlänge a und der Höhe des Seitendreiecks $\textcolor{blue}{\text{h}_\text{Mantelfläche}}$ .

Jede Pyramide hat eine bestimmte Anzahl an Ecken. Eine fünfeckige Pyramide hat beispielsweise eine Grundfläche mit fünf Ecken. Um die Oberfläche der Pyramide zu berechnen, multiplizierst du die Anzahl n an Ecken jeweils mit der Grundfläche und Mantelfläche.

Die Formel lautet also:

$O = \textcolor{orange}n \cdot \textcolor{orange}{\frac{1}{2}} \cdot \textcolor{orange}a \cdot \textcolor{orange}{\text{h}_\text{Grundfläche}} + \textcolor{blue}n \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \textcolor{blue}a \cdot \textcolor{blue}{\text{h}_\text{Mantelfläche}}$

Oberfläche berechnen — quadratische Pyramide

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(00:38)

Bei einer quadratischen Pyramide sind die Kanten der Grundfläche gleich lang. Das bedeutet, dass du für die Grundfläche den Flächeninhalt des Quadrats berechnest. Du quadrierst also die Grundkante a. Außerdem besteht die Mantelfläche einer quadratischen Pyramide aus vier gleich großen Dreiecken .

Deshalb lautet die Formel für die Oberfläche einer quadratischen Pyramide:

$O = a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\text{h}_\text{Mantelfläche}} = a^2 + 2 \cdot a \cdot {\text{h}_\text{Mantelfläche}}$

Schauen wir uns ein Beispiel dazu an:

Stell dir vor, du hast eine quadratische Pyramide mit a = b = 5 cm und Höhe des Seitendreiecks $\textcolor{blue}{\text{h}_\text{Mantelfläche}} = \textcolor{blue}{9~\text{cm}}$ gegeben. Die Oberfläche berechnest du also folgendermaßen:

$O = a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\text{h}_\text{Mantelfläche}}$

$O = (\textcolor{orange}5~\textcolor{orange}{cm})^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \textcolor{orange}5~\textcolor{orange}{cm} \cdot {\textcolor{blue}9~\textcolor{blue}{cm}}$

$O= 25~\text{cm}^2 + 90~\text{cm}^2 = 115~\text{cm}^2$

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Oberfläche berechnen — n-eckige Pyramide

Die Grundfläche einer Pyramide muss aber nicht immer viereckig sein, sondern kann beispielsweise auch fünf oder sechs Ecken haben. Dann sprichst du von einer n-eckigen Pyramide.

Die Oberfläche einer n-eckigen Pyramide berechnest du mit $O = n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\text{h}_\text{Grundfläche}} + n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\text{h}_\text{Mantelfläche}}$ . Du kannst sie auch umformen zu $O = n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot ({\text{h}_\text{Grundfläche}} + {\text{h}_\text{Mantelfläche}})$ .

Lass uns das an einem Beispiel anschauen:

Angenommen du hast eine sechseckige Pyramide mit der Grundkante a = 4 cm, Höhe des Bodendreiecks $\textcolor{orange}{h_a} = \textcolor{orange}{5~\text{cm}}$ und Höhe des Seitendreiecks $\textcolor{blue}{h_s} = \textcolor{blue}{8~\text{cm}}$ . Die Oberfläche berechnest du dann folgendermaßen:

$O = n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\text{h}_\text{Grundfläche}} + n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\text{h}_\text{Mantelfläche}}$

$O= 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \textcolor{orange}4~\textcolor{orange}{cm} \cdot \textcolor{orange}5~\textcolor{orange}{cm} + 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}4~\textcolor{blue}{cm} \cdot \textcolor{blue}8~\textcolor{blue}{cm}$

$= 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4~\text{cm} \cdot (5~\text{cm} + 8~\text{cm})$

$= 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4~\text{cm} \cdot 13~\text{cm} = 156~\text{cm}^2$

Oberfläche Pyramide — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich, ob eine Pyramide regelmäßig ist?

Eine Pyramide ist regelmäßig, wenn die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist (alle Grundkanten gleich lang und alle Winkel gleich groß) und die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt. Dann sind alle Seitendreiecke kongruent, also gleich groß und gleich geformt.
Wie finde ich die Höhe vom Seitendreieck, wenn ich nur die senkrechte Höhe kenne?

Die Höhe des Seitendreiecks (Seitenhöhe) erhältst du aus einem rechtwinkligen Dreieck aus senkrechter Höhe und dem Abstand vom Grundflächenmittelpunkt zur Mitte einer Grundkante (Inkreisradius). Es gilt $h_\text{Mantelfläche}=\sqrt{h^2+r^2}$ , wobei dieser Abstand ist.
Welche Fehler passieren oft, wenn ich Grundhöhe und Seitenhöhe verwechsle?

Häufig wird die senkrechte Höhe fälschlich als Dreieckshöhe für die Mantelfläche eingesetzt oder umgekehrt. Beispiel: Für die Mantelfläche muss die Seitenhöhe $h_\text{Mantelfläche}$ in $A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_\text{Mantelfläche}$ stehen, nicht die senkrechte Höhe , weil nicht im Seitendreieck liegt.
Wann darf ich bei einer n-eckigen Pyramide einfach mit n multiplizieren?

Mit darfst du nur dann multiplizieren, wenn die Teilflächen wirklich alle gleich groß sind, also die Grundfläche in kongruente Dreiecke zerfällt und die Seitendreiecke kongruent sind. Das ist typisch bei einer regelmäßigen n-eckigen Pyramide der Fall.
Wie berechne ich die Oberfläche, wenn die Grundkanten nicht gleich lang sind?

Wenn die Grundkanten nicht gleich lang sind, berechnest du die Oberfläche als , aber ohne „mal “. Bestimme aus der tatsächlichen Grundfläche (z. B. Zerlegung in Dreiecke) und addiere für den Mantel alle Seitendreiecke einzeln: $M=\sum \frac{1}{2}\,a_i\,h_i$ .

Volumen Pyramide

Die Grundfläche ist nicht nur für die Oberfläche der Pyramide, sondern auch für das Berechnen des Volumens wichtig. Das berechnest du mit dieser Formel:

$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$