Wie merke ich schnell, ob ich bei Punkt-Gerade-Aufgaben die Kreuzprodukt-Formel verwenden kann?

Du kannst die Kreuzprodukt-Formel im 3D-Raum verwenden, wenn die Gerade in Parameterform vorliegt. Dann ist der Richtungsvektor und ein Punkt auf der Geraden. Achte darauf, dass gilt, sonst ist es keine Gerade.

Wie finde ich den Lotfußpunkt auf der Geraden, wenn ich nicht mit einer Hilfsebene arbeiten will?

Du findest den Lotfußpunkt, indem du forderst, dass der Verbindungsvektor zum Punkt senkrecht zur Geraden ist. Setze dafür und löse nach . Danach ist der Lotfußpunkt und der Abstand.

Welche typischen Rechenfehler passieren beim Kreuzprodukt in der Abstandsformel am häufigsten?

Häufig passieren Vorzeichenfehler und vertauschte Reihenfolgen, weil . Außerdem wird manchmal vergessen, am Ende den Betrag zu bilden, also . Kontrolliere dein Ergebnis kurz: Der Abstand muss immer sein und eine Zahl, kein Vektor.

Warum teilt man in der Formel durch und was passiert, wenn ich skaliere?

Du teilst durch , damit die Länge des Richtungsvektors keinen Einfluss auf den Abstand hat. Das Kreuzprodukt liefert eine Fläche, die proportional zu ist, und durch das Teilen wird daraus eine „Höhe“, also der Abstand. Wenn du mit multiplizierst, bleibt gleich, weil Zähler und Nenner beide mit wachsen.

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Abstand Punkt Gerade

Wie berechnest du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden? In diesem Beitrag und Video zeigen wir es dir.

Inhaltsübersicht

Abstand Punkt Gerade einfach erklärt

Wenn du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden ermitteln willst, brauchst du die kürzeste Distanz zwischen den beiden. Du bestimmst sie, indem du eine senkrechte Linie vom Punkt zur Geraden ziehst — so, als würdest du ein Lot fällen. Die Länge dieser Linie ist genau der Abstand, den du suchst.

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Um den Abstand mathematisch zu berechnen, gibt es eine Formel. Schauen wir sie uns genauer an!

Abstandsformel im dreidimensionalen Raum

Wenn du den Abstand im dreidimensionalen Raum berechnen willst, benutzt du die sogenannte Abstandsformel:

$d = \frac{ | (\vec{p} - \vec{q}) \times \vec{u} | }{ |\vec{u}| }$

Für die Formel brauchst du drei Dinge:

den Punkt $\vec{p}$ , von dem du den Abstand bestimmen willst,
einen Punkt $\vec{q}$ auf der Geraden (oft Aufpunkt genannt),
und den Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden.

$\vec{q}$ und $\vec{u}$ findest du immer in der Geradengleichung , die dir gegeben wird — meist in der Parameterform: $g: \vec{x} = \vec{q} + \lambda \cdot \vec{u}$

Wie du diese Formel anwendest, zeigen wir dir direkt an einem Beispiel!

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So berechnest du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden

Gegeben ist der Punkt $P = (4\,|\,1\,|\,3)$

und die Gerade $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Das bedeutet wir haben folgende Punkte:

$\vec{p} = \begin{pmatrix}4 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix}$ ist der Punkt außerhalb der Geraden
$\vec{q} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$ ist ein Punkt auf der Geraden (der sogenannte Aufpunkt)
$\vec{u} = \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$ ist der Richtungsvektor der Geraden

Um den Abstand zu berechnen, setzt du deine Werte in die Abstandsformel ein:

$d = \frac{ | (\vec{p} - \vec{q}) \times \vec{u} | }{ |\vec{u}| }$

So sieht das Ganze dann aus:

$d = \frac{ \left| \left( \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right) \times \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right| } { \left| \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right| } = \frac{ \left| \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right| } { \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} }$

Jetzt rechnest du weiter aus. Erst berechnest du das Kreuzprodukt:

$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot (-1) - 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix}$

Das Kreuzprodukt ergibt also:

$\left| \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}$

Jetzt berechnest du noch den Betrag des Richtungsvektoren $\vec{u}$ :

$\left| \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$

Nun kannst du beide Werte in die Abstandsformel einsetzten:

$d = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}} \approx 2{,}24$

Antwort: Der Abstand zwischen dem Punkt und der Geraden beträgt also gerundet 2,24 Längeneinheiten.

Alternative Berechnung mit der Hilfsebene

Den Abstand zwischen Punkt und Gerade kannst du auch mit einer Hilfsebene bestimmen. Dazu musst du nur dieser 5-Schritte-Anleitung folgen, die wir dir anhand eines Beispiels erklären:

Du hast den Punkt P ( 1 | -3 | -3 ) und die Gerade $g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c}2\\1\\-3\end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)$ gegeben.

Schritt 1: Zuerst bildest du die Hilfsebene in Normalform, die durch den Punkt P geht und senkrecht zu dem Richtungsvektor $\vec{u}$ ist. Dazu brauchst du den Normalenvektor $\vec{n}$ , er steht senkrecht auf der Ebene. Der $\vec{u}$ aus der Gerade g ist der Vektor = $\vec{n}$ der Hilfsebene.

$E: \left [\vec{x} - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -3 \\\ -3 \end{array}\right)\right] \circ \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) = 0$

Schritt 2: Jetzt kannst du die Ebene E in die Koordinatenform umwandeln.

$\left [\vec{x} - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -3 \\\ -3 \end{array}\right)\right] \circ \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) = 0$

⇒ – (x₁ – 1) + 3 (x₂ + 3) + (x₃ + 3) = 0

⇒ – x₁ + 3x₂ + x₃ = – 13

Schritt 3: Nun setzt du in x₁ , x₂ , x₃ den Vektor $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2- \lambda \\\ 1 +3\lambda \\\ -3+ \lambda \end{array}\right)$ ein. Dadurch rechnest du λ aus und bestimmst den Schnittpunkt der Hilfsebene E mit der Gerade g.

– (2 – λ) + 3 (1 + 3λ) + (-3 + λ) = – 13

11 λ = -11

λ = – 1

Schritt 4: Als Nächstes setzt du λ in die Gerade g ein, um den Ortsvektor $\vec{S}$ des Schnittpunktes zu bestimmen.

$\vec{S} = \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ - 3 \end{array}\right) + (-1) \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \\\ -4 \end{array}\right)$

Schritt 5: Als Letztes berechnest du den Abstand der Punkte S und P.

d = $\sqrt{(3-1)^2 + (-2 -(-3))^2 + (-4-(-3))^2} = \sqrt{6}$

Super! Du hast den Abstand zwischen Punkt und Gerade mithilfe der Hilfsebene bestimmt!

Berechnung im Zweidimensionalen

Wenn du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden im zweidimensionalen Raum berechnen willst, brauchst du nicht unbedingt eine Vektorrechnung. Hier reicht eine einfache Formel. Die Voraussetzung ist, dass die Gerade in der Koordinatenform vorliegt, also in der Form: $g: \ ax + by + c = 0$

Dann nutzt du die folgende Abstandsformel: $d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Dabei ist $(x_0 \mid y_0)$ der gegebene Punkt und a, b, c stammen aus der Geradengleichung.

So gehst du vor:

Setze die Werte des Punktes und der Geraden in die Formel ein
Berechne zuerst den Zähler, also den absoluten Wert
Berechne dann den Nenner, also $\sqrt{a^2 + b^2}$
Teile beides, um den Abstand zu erhalten

Diese Methode ist besonders schnell und übersichtlich — ideal für Aufgaben, die im zweidimensionalen Raum gestellt sind. Wenn du allerdings nur eine Punkt- und Richtungsform der Geraden hast, musst du sie vorher umformen oder alternativ die Vektorformel anwenden.

Abstand Punkt Gerade — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie merke ich schnell, ob ich bei Punkt-Gerade-Aufgaben die Kreuzprodukt-Formel verwenden kann?

Du kannst die Kreuzprodukt-Formel im 3D-Raum verwenden, wenn die Gerade in Parameterform $g:\vec x=\vec q+\lambda\vec u$ vorliegt. Dann ist $\vec u$ der Richtungsvektor und $\vec q$ ein Punkt auf der Geraden. Achte darauf, dass $\vec u\neq \vec 0$ gilt, sonst ist es keine Gerade.
Wie finde ich den Lotfußpunkt auf der Geraden, wenn ich nicht mit einer Hilfsebene arbeiten will?

Du findest den Lotfußpunkt, indem du forderst, dass der Verbindungsvektor zum Punkt senkrecht zur Geraden ist. Setze dafür $(\vec p-(\vec q+\lambda\vec u))\cdot \vec u=0$ und löse nach $\lambda$ . Danach ist $\vec S=\vec q+\lambda\vec u$ der Lotfußpunkt und $|\vec p-\vec S|$ der Abstand.
Welche typischen Rechenfehler passieren beim Kreuzprodukt in der Abstandsformel am häufigsten?

Häufig passieren Vorzeichenfehler und vertauschte Reihenfolgen, weil $\vec a\times\vec b\neq \vec b\times\vec a$ . Außerdem wird manchmal vergessen, am Ende den Betrag zu bilden, also $\lvert(\vec p-\vec q)\times\vec u\rvert$ . Kontrolliere dein Ergebnis kurz: Der Abstand muss immer $\ge 0$ sein und eine Zahl, kein Vektor.
Warum teilt man in der Formel durch $|\vec u|$ und was passiert, wenn ich $\vec u$ skaliere?

Du teilst durch $|\vec u|$ , damit die Länge des Richtungsvektors keinen Einfluss auf den Abstand hat. Das Kreuzprodukt liefert eine Fläche, die proportional zu $|\vec u|$ ist, und durch das Teilen wird daraus eine „Höhe“, also der Abstand. Wenn du $\vec u$ mit multiplizierst, bleibt gleich, weil Zähler und Nenner beide mit wachsen.

Abstand zwischen zwei Geraden

Super, jetzt weißt du wie du den Abstand zwischen Punkt und Gerade berechnest. Falls du wissen möchtest, wie du den Abstand zwischen zwei Geraden berechnest, dann schau dir dieses Video an!