Kreisbogen und Kreisausschnitt (Kreisausschnitt)
In diesem Beitrag erfährst du, was ein Kreisausschnitt ist und wie du ihn berechnen kannst. Schau dir unser Video dazu an! Dort erklären wir es dir anschaulich.
Inhaltsübersicht
Kreisausschnitt einfach erklärt
Ein Kreisausschnitt ist ein Anteil der Fläche eines Kreises, der eng mit dem Kreisbogen b zusammenhängt.
Was ist ein Kreisausschnitt?
Der Kreisausschnitt oder Kreissektor 
ist ein Teil des Flächeninhalts eines Kreises. Der Kreisausschnitt hängt vom Winkel 
ab. Außerdem siehst du, dass der Anteil des Kreisausschnitts am Umfang des Kreises mit dem Kreisbogen b identisch ist. Um den Kreisausschnitt zu berechnen, verwendest du die Formel
![\[\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a100d81bd131b79bdec0219df1c43e68_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Kreisausschnitt berechnen
Der Anteil des Kreisausschnitts an der gesamten Kreisfläche
entspricht dem Anteil 
. Diesen Anteil multiplizierst du mit dem Flächeninhalt A eines Kreises
.
![\[ \textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot\underbrace{ \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2}_{= A} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40de1cecfe9375641d80b83153bbc7b1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Lass uns ein Beispiel dazu anschauen.
Beispiel
Stell dir vor, du hast folgenden Kreis mit Radius r = 7,5cm und dem Winkel 217° vorgegeben.
Du sollst nun den Kreisausschnitt berechnen. Dazu befolgst du folgende Schritte.
- 1. Formel aufstellen: Schreib die Kreisausschnitt Formel noch einmal hin.
![\[ \textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b8f891d1613ae677b7b1b109a01107c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- 2. Werte einsetzen: Setz die Angaben in die Kreisausschnitt Formel ein.
![\[ \textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{217^\circ}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (\textcolor{blue}{{7,5\text{cm}}})^2 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc3e24bda22c91b5afe687cfda0dd84a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- 3. Kreisausschnitt berechnen: Löse die Rechnung mit deinem Taschenrechner .
![\[ \textcolor{violet}{A_S \approx 106,52\text{cm}^2} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-02b34fb08b3355e8d32eeee4bcf70a07_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Du siehst, dass der Kreissektor eine Fläche von 
hat.
Durchmesser mit Kreisausschnitt berechnen
Diesmal suchst du den Durchmesser des Kreises.
Du kennst den Winkel mit 26° und die Fläche vom Kreisausschnitt mit 
.
- 1. Formel aufstellen: Zuerst schreibst du die Kreisausschnitt Formel auf.
- 2. Gleichung auflösen: Du brauchst den Radius. Also musst du die Formel nach r auflösen.
![\[ \textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2 \quad | : \pi \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa1d9b17ef67515d819a1028455a134c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \frac{\textcolor{violet}{A_S}}{\pi} = \frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \textcolor{blue}{r}^2 \quad | \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-78c2b3aac446cf2801d05aaae7fb632c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ $\frac{\textcolor{violet}{A_S}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}} = \textcolor{blue}{r}^2 \quad | \sqrt{} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a9e2632cf2c9ad994f9dd55d7df2c55_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{violet}{A_S}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-757f1610cea878f97ca3a81b0f6bb0b2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
-
3. Werte einsetzen: Setze
und 
ein.
![\[ \textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{violet}{80\text{cm}^2}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{26^\circ}} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79d686a05348d120d4981f0b8932ddf0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- 4. Durchmesser ausrechnen: Du rechnest das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus.
![\[ \textcolor{blue}{r \approx 18{,}78\ \text{cm}} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7a42bb2f9066aa7e2c929179814f5d4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ d = 2 \cdot \textcolor{blue}{r} \approx 37{,}56\ \text{cm}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2bbf6be8ae4e349f13c656a0897b2a8d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Der Radius beträgt ungefähr 18,78 cm und der Durchmesser doppelt so viel, also circa 37,56 cm.
Gradmaß und Bogenmaß
Mit der Kreisbogen Formel kannst du auch die Umrechnung von Gradmaß zu Bogenmaß durchführen. Um den vollen Durchblick zu dem Thema zu bekommen, musst du dir unser Video dazu anschauen!
