Was ist die Koordinatenform bei einer Gerade oder Ebene?

Die Koordinatenform beschreibt eine Gerade als und eine Ebene als . Dabei sind beliebige reelle Zahlen. Mit dieser Gleichung kannst du direkt rechnen und zum Beispiel prüfen, ob ein Punkt die Gleichung erfüllt.

Wie prüfe ich mit der Koordinatenform, ob ein Punkt auf einer Gerade liegt?

Du setzt die Koordinaten des Punkts in ein und prüfst, ob die Gleichung stimmt. Ist links genau , dann liegt der Punkt auf der Geraden; sonst nicht. Beispiel: Bei liegt darauf, denn .

Wie prüfe ich mit der Koordinatenform, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt?

Setze die drei Koordinaten des Punkts in ein und kontrolliere, ob das Ergebnis ist. Wenn die Gleichung erfüllt ist, liegt der Punkt auf der Ebene. Beispiel: Auf liegt , weil .

Was sagt es über eine Gerade aus, wenn a oder b oder c in der Koordinatenform 0 ist?

Bei bedeutet , dass die Gerade parallel zur x-Achse verläuft, und , dass sie parallel zur y-Achse ist. Ist , dann geht die Gerade durch den Ursprung. Diese Sonderfälle erkennst du direkt am jeweiligen Koeffizienten.

Was sagt es über eine Ebene aus, wenn a oder b oder c oder d in der Koordinatenform 0 ist?

In heißt , dass die Ebene parallel zur -Achse ist, bei parallel zur -Achse und bei parallel zur -Achse. Ist , dann geht die Ebene durch den Ursprung.

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Koordinatenform

Wichtige Inhalte in diesem Video

Koordinatenform einfach erklärt

(00:12)

Besondere Fälle

(01:11)

Koordinatenform Ebene

(01:33)

Besondere Fälle

(02:29)

In diesem Artikel zeigen wir dir, was die Koordinatenform einer Gerade oder Ebene ist. Du möchtest das Thema lieber in visueller Form sehen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Koordinatenform einfach erklärt

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(00:12)

Die Koordinatenform ist eine Darstellung von Geraden oder Ebenen. Damit kannst du sehr leicht überprüfen, ob ein Punkt auf einer Gerade oder einer Ebene liegt.

Koordinatenform Gerade/Ebene

Für eine Gerade gilt

g: ax + by = c

und für eine Ebene ist

g: ax_1+ bx_2+ cx_3= d .

Dabei sind a, b, c und d beliebige Zahlen.

Bemerkung: Die Koordinatenform ist nichts anderes, als die ausmultiplizierte Form der Normalenform . Außerdem kannst du Geraden und Ebenen auch mit der Parameterform darstellen.

Koordinatenform Gerade

Du kannst jede Gerade mit der Koordinatenform darstellen.

$g: ax + by = c, \quad a, b, c \in \mathbb{R}$

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Beispiel

Eine Gerade wird zum Beispiel durch die Koordinatenform

2x - 3y = 6

dargestellt. Möchtest du nun überprüfen, ob ein Punkt auf der Gerade liegt, dann setzt du lediglich die Komponenten des Punktes in die Form ein und schaust, ob die Gleichung erfüllt wird.

So liegt zum Beispiel der Punkt P(6|2) auf der Gerade , denn

$2 \cdot6 - 3 \cdot 2 = 6$ .

Der Punkt Q(3|1) hingegen liegt nicht auf der Gerade, da

$2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 = 3 \neq 6$ .

Besondere Fälle

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(01:11)

Dabei können folgende Fälle auftreten:

Ist , dann ist die Gerade parallel zur x-Achse.
Bei verläuft die Gerade parallel zur y-Achse.
Ist , dann geht die Gerade durch den Ursprung.
Bei schneidet die Gerade die Achsen in den Punkten $(\frac{1}{a}|0)$ und $(0|\frac{1}{b})$ .

Koordinatenform Ebene

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(01:33)

Analog kannst du auch eine Ebene durch eine Koordinatenform beschreiben.

$E: ax_1 + bx_2 + cx_3 = d, \quad a, b, c, d \in \mathbb{R}$

Hinweis: Anstelle von x_1,x_2 und x_3 findest du auch manchmal die Bezeichnung x,y,z .

Beispiel

Die Koordinatenform

E: 3x_1 - 4x_2 + x_3 = 2

beschreibt eine Ebene im $\mathbb{R}^3$ . Um nun zu überprüfen, ob ein Punkt auf der Ebene liegt, setzt du die Komponenten des Punktes in die Koordinatenform der Ebene ein und schaust, ob die Gleichung erfüllt ist.

Der Punkt P(2|0|-4) liegt zum Beispiel auf der Ebene, da

$3 \cdot 2 - 4 \cdot 0 + (-4) = 2$ .

Aber der Punkt Q(1|5|3) liegt nicht auf der Ebene, denn

$3 \cdot 1 - 4 \cdot 5 + 3 = -14 \neq 2$ .

Besondere Fälle

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(02:29)

Es können folgende Fälle auftreten:

Ist , so verläuft die Ebene parallel zur -Achse.
Bei ist die Ebene parallel zur -Achse.
Ist , dann ist die Ebene parallel zur -Achse.
Ist , so geht die Ebene durch den Ursprung.
Und ist , dann schneidet die Ebene die Achsen bei $(\frac{1}{a}|0|0)$ , $(0|\frac{1}{b}|0)$ und $(0|0|\frac{1}{c})$

Koordinatenform — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist die Koordinatenform bei einer Gerade oder Ebene?

Die Koordinatenform beschreibt eine Gerade als und eine Ebene als . Dabei sind beliebige reelle Zahlen. Mit dieser Gleichung kannst du direkt rechnen und zum Beispiel prüfen, ob ein Punkt die Gleichung erfüllt.
Wie prüfe ich mit der Koordinatenform, ob ein Punkt auf einer Gerade liegt?

Du setzt die Koordinaten des Punkts in ein und prüfst, ob die Gleichung stimmt. Ist links genau , dann liegt der Punkt auf der Geraden; sonst nicht. Beispiel: Bei liegt darauf, denn $2\cdot6-3\cdot2=6$ .
Wie prüfe ich mit der Koordinatenform, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt?

Setze die drei Koordinaten des Punkts in ein und kontrolliere, ob das Ergebnis ist. Wenn die Gleichung erfüllt ist, liegt der Punkt auf der Ebene. Beispiel: Auf liegt , weil $3\cdot2-4\cdot0+(-4)=2$ .
Was sagt es über eine Gerade aus, wenn a oder b oder c in der Koordinatenform 0 ist?

Bei bedeutet , dass die Gerade parallel zur x-Achse verläuft, und , dass sie parallel zur y-Achse ist. Ist , dann geht die Gerade durch den Ursprung. Diese Sonderfälle erkennst du direkt am jeweiligen Koeffizienten.
Was sagt es über eine Ebene aus, wenn a oder b oder c oder d in der Koordinatenform 0 ist?

In heißt , dass die Ebene parallel zur -Achse ist, bei parallel zur -Achse und bei parallel zur -Achse. Ist , dann geht die Ebene durch den Ursprung.