Wie finde ich schnell raus, ob ein Punkt wirklich auf einer Geraden oder Ebene in Parameterform liegt?

Du prüfst das, indem du die Punktkoordinaten in die Parameterform einsetzt und die Parameter löst. Bei einer Geraden bestimmst du aus den Koordinatengleichungen; bei einer Ebene löst du nach und . Gibt es eine Lösung, liegt der Punkt drauf, sonst nicht.

Welche Fehler passieren am häufigsten, wenn ich Richtungsvektoren aus zwei oder drei Punkten bilde?

Am häufigsten wird beim Bilden von falsch subtrahiert, also und nicht gemischt. Außerdem werden Vorzeichen bei negativen Koordinaten vertauscht oder die Reihenfolge der Punkte zwischen zwei Differenzen inkonsistent gewählt. Unüblich, aber nicht falsch: statt zu nehmen.

Was muss bei einer Ebene gelten, damit die zwei Richtungsvektoren die Ebene wirklich aufspannen?

Die zwei Richtungsvektoren müssen linear unabhängig sein, also nicht parallel zueinander. Sind sie Vielfache voneinander, entsteht nur eine Gerade statt einer Ebene. Im erkennst du das zum Beispiel daran, dass das Kreuzprodukt nicht der Nullvektor ist.

Wie kann ich eine Gerade oder Ebene aus der Parameterform in die Koordinatenform umwandeln?

Eine Gerade in 2D wandelst du um, indem du die Parametergleichungen aufstellst und eliminierst, bis entsteht. Eine Ebene im bekommst du, indem du einen Normalenvektor bildest und dann zu ausmultiplizierst.

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Parameterform

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Parameterform einfach erklärt

In diesem Artikel stellen wir dir die Parameterform einer Gerade und einer Ebene vor. Du möchtest das Thema schnell verstehen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Parameterform einfach erklärt

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(00:12)

Die Parameterform ist eine Möglichkeit, um eine Gerade oder eine Ebene darzustellen. Dabei benötigst du immer einen Aufpunkt (beziehungsweise Stützvektor), und eine Richtung, in die die Gerade oder Ebene verläuft.

Parameterform Gerade/Ebene

Die Parameterform einer Gerade und einer Ebene sieht wie folgt aus:

$g: \vec{x}= \vec{a} +\lambda \cdot \vec{u}$

$E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$

$\vec{a}$ : Stützvektor,
$\vec{u}$ , $\vec{v}$ : Richtungsvektoren
$\lambda$ , und : beliebige Zahlen.

Beispiel: $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right)$ . Dabei ist der Stützvektor $\vec{a}=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right)$ und der Richtungsvektor $\vec{u}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right)$ .

Hinweis: Du kannst eine Gerade oder Ebene auch mit der Normalenform oder Koordinatenform darstellen.

Parameterform Gerade

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(00:12)

Jede Gerade lässt sich durch einen Aufpunkt $\vec{a}$ und einen Richtungvektor $\vec{u}$ beschreiben. Die Geradengleichung sieht dann wie folgt aus

$g: \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}$ .

$\lambda$ ist dabei eine beliebige Zahl.

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Beispiel im $\mathbb{R}^2$

Betrachte zum Beispiel eine Gerade , die durch die Punkte A(-3|2) und B(1|3) geht. Wählst du den Punkt A als Aufpunkt, erhältst du den Stützvektor $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right)$ . Den Vektor $\vec{AB} = \left(\begin{array}{c} 1 -(- 3) \\ 3 - 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right)$ kannst du als Richtungsvektor $\vec{u}$ wählen. Damit kannst du die Parameterform aufstellen

$g: \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right)$ .

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Beispiel im $\mathbb{R}^3$

Auch im $\mathbb{R}^3$ kannst du eine Gerade durch seine Parameterform darstellen. Betrachte hierfür eine Gerade , welche durch die Punkte A(-1|1|-3) und B(0|3|4) verläuft. Wählst du den Vektor $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right)$ als Stützvektor und den Vektor $\vec{u} = \vec{AB} = \left(\begin{array}{c} 0 -(- 1) \\ 3 - 1 \\ 4 -(- 3) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 7 \end{array}\right)$ als Richtungsvektor, dann sieht die Parameterform der Gerade wie folgt aus

$h: \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 7 \end{array}\right)$ .

Hinweis: Die Parameterform einer Gerade ist nicht eindeutig, denn du kannst als Aufpunkt beziehungsweise Stützvektor einen beliebigen Punkt auf der Gerade wählen. So ist zum Beispiel C(-5|1,5) ein weiterer Punkt auf der Gerade vom ersten Beispiel

$g: \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ 1,5 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right)$ .

Parameterform — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie finde ich schnell raus, ob ein Punkt wirklich auf einer Geraden oder Ebene in Parameterform liegt?

Du prüfst das, indem du die Punktkoordinaten in die Parameterform einsetzt und die Parameter löst. Bei einer Geraden bestimmst du $\lambda$ aus den Koordinatengleichungen; bei einer Ebene löst du nach und . Gibt es eine Lösung, liegt der Punkt drauf, sonst nicht.
Welche Fehler passieren am häufigsten, wenn ich Richtungsvektoren aus zwei oder drei Punkten bilde?

Am häufigsten wird beim Bilden von $\vec{AB}$ falsch subtrahiert, also und nicht gemischt. Außerdem werden Vorzeichen bei negativen Koordinaten vertauscht oder die Reihenfolge der Punkte zwischen zwei Differenzen inkonsistent gewählt. Unüblich, aber nicht falsch: $\vec{BA}$ statt $\vec{AB}$ zu nehmen.
Was muss bei einer Ebene gelten, damit die zwei Richtungsvektoren die Ebene wirklich aufspannen?

Die zwei Richtungsvektoren müssen linear unabhängig sein, also nicht parallel zueinander. Sind sie Vielfache voneinander, entsteht nur eine Gerade statt einer Ebene. Im $\mathbb{R}^3$ erkennst du das zum Beispiel daran, dass das Kreuzprodukt $\vec{u}\times\vec{v}$ nicht der Nullvektor ist.
Wie kann ich eine Gerade oder Ebene aus der Parameterform in die Koordinatenform umwandeln?

Eine Gerade in 2D wandelst du um, indem du die Parametergleichungen aufstellst und $\lambda$ eliminierst, bis entsteht. Eine Ebene im $\mathbb{R}^3$ bekommst du, indem du einen Normalenvektor $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ bildest und dann $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{a})=0$ zu ausmultiplizierst.

Parameterform Ebene

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(01:35)

Ähnlich wie eine Gerade, lässt sich eine Ebene durch einen Aufpunkt $\vec{a}$ und zwei Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ darstellen. Dabei spannen die Richtungsvektoren die Ebene auf. Die Parameterform einer Ebene sieht dabei folgendermaßen aus

$E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$ .

r und u sind dabei beliebige Zahlen.

Beispiel

Schau dir zum Beispiel die Ebene an, die die Punkte A(0|3|1) , B(-1|0|2) und C(-1|4|1,5) enthält. Wählst du den Vektor $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$ als den Stützvektor und die Vektoren

$\vec{u} = \vec{AB} = \left(\begin{array}{c} -1 - 0 \\ 0 - 3 \\ 2 - 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right)$ und $\vec{v} = \vec{AC} = \left(\begin{array}{c} -1 - 0 \\ 4 - 3 \\ 1,5 - 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0,5 \end{array}\right)$

als die Richtungsvektoren, dann ergibt sich die Parameterdarstellung der Ebene

$E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0,5 \end{array}\right)$ .

Parameterform, Parameterform Ebene, Parameterform einer Ebene, Ebene Parameterform — Die Parameterform der Ebene E

Hinweis: Die Parameterform einer Ebene ist nicht eindeutig, da du als Stützpunkt einen beliebigen Punkt wählen kannst. Außerdem kannst du auch zwei beliebige Richtungsvektoren wählen, die in der Ebene liegen.

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