Normalenform
In diesem Artikel zeigen wir dir, wie die Normalenform einer Gerade oder einer Ebene aussieht. Noch schneller verstehst du das Thema mit unserem Video !
Inhaltsübersicht
Normalenform einfach erklärt
In der Geometrie können Geraden und Ebenen in der Normalform beschrieben werden. Die Normalenform einer Gerade sieht so aus:
![\[g\colon\textcolor{olive}{\vec{n}} \cdot (\textcolor{blue}{\vec{x}} - \textcolor{orange}{\vec{p}}) = 0\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ef227be750f633cf0e10b7f30274109_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- g = Bezeichnung der Gerade
-
= Normalenvektor (steht senkrecht zur Gerade) -
= Aufpunkt/Stützvektor
Beispiel: Die Normalenform einer Gerade mit dem Aufpunkt P(2|3) und dem Normalenvektor 
lautet:
Eine Gerade kannst du mit der Normalform nur im zweidimensionalen Raum 
beschreiben. Im dreidimensionalen Raum gibt es für eine Gerade keinen eindeutigen Normalenvektor.
Normalenform Ebene
Die Normalform einer Ebene sieht folgendermaßen aus:
![\[E\colon \textcolor{olive}{\vec{n}} \cdot (\textcolor{blue}{\vec{x}} - \textcolor{orange}{\vec{p}})= 0\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e71fba26e470870a2fd4935c1f26d73_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- E = Bezeichnung der Ebene
-
= Normalenvektor (steht senkrecht zur Ebene)
-
= Aufpunkt/Stützvektor
Beispiel:
![\[E\colon \textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)} \cdot \left( \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)} - \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)} \right) = 0\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a42659bb9eaaa6cfbe679b72c33f412_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Vektoren einer Ebene liegen im dreidimensionalen Raum 
und haben entsprechend drei Koordinaten x1, x2, x3.
Schau dir für die Normalengleichung Ebene und Gerade zwei Beispiele an!
Beispiel Normalenvektor Gerade
Die Gerade 
besitzt den Punkt P(3|4) und den Normalenvektor 
.
Zunächst benötigst du wieder den Vektor des Aufpunkt 
. Er ergibt sich einfach aus dem Punkt P und lautet 
Die Normalform von g sieht also wie folgt aus:
Besonders nützlich ist die Normalform bei der Abstandsberechnung .
Beispiel Normalenform Ebene
Die Ebene 
besitzt den Punkt P(1|1|3) und den Normalform Vektoren 
. Du berechnest ihn mit dem Kreuzprodukt
der beiden Vektoren aus der Parameterform
.
Demnach lautet die Ebenengleichung:
Normalenform — häufigste Fragen
-
Für was braucht man die Normalenform?
Mit der Normalenform (auch Normalform) kannst du Geraden oder Ebenen durch eine Vektorgleichung darstellen. Du kannst sie dann benutzen, wenn du bereits den Normalenvektor kennst. Er steht senkrecht auf allen Punkten der Gerade bzw. Ebene.
-
Wie sieht die Normalenform aus?
Die Normalenform, Normalform oder Normalengleichung ist eine spezielle Form der Geradengleichung oder Ebenengleichung in der Mathematik. Die Normalenform einer Gerade stellt die Gerade in der euklidischen Ebene durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor dar. Die Normalenform einer Ebene stellt die Ebene im euklidischen Raum dar.
-
Wie stellt man die Normalenform auf?
Um die Normalenform aus der Parameterform einer Ebene zu bekommen, gehst du folgendermaßen vor: Du berechnest den zugehörigen Normalenvektor n mit dem Kreuzprodukt und wählst für den Richtungsvektor p einen beliebigen Punkt auf der Ebene. Nun setzt du beide Vektoren in die allgemeine Normalenform ein.
Parameterform
Neben der Normalform kannst du jede Gerade und Ebene auch mit der Parameterform und der Koordinatenform darstellen. Damit du alle Aufgaben einfach lösen kannst, solltest du auf jeden Fall alle drei Formen kennen. Mache gleich weiter und schau dir unser Video zur Parameterform an!
