Wie finde ich bei einer Ebene in Parameterform die Spannvektoren, die ich fürs Kreuzprodukt brauche?

Die Spannvektoren sind die beiden Vektoren, die in der Parameterform bei und stehen. Genau diese zwei Vektoren brauchst du für das Kreuzprodukt, um den Normalenvektor zu bekommen. Im Beispiel sind das und .

Wie rechne ich das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren konkret aus?

Du berechnest das Kreuzprodukt komponentenweise und erhältst so den Normalenvektor. Das läuft nach dem Schema . Zum Beispiel ergibt .

Was bedeutet es, wenn in der Koordinatenform vor und eine Null steht?

Dann tauchen und in der Gleichung nicht auf, weil der Normalenvektor dort Nullen hat. Das ist nicht falsch, sondern ergibt einfach eine „einfachere“ Ebenengleichung. Im Beispiel führt zu und damit zu .

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Parameterform in Koordinatenform

In diesem Beitrag und im Video erfährst du, wie du die Parameterform in Koordinatenform umwandelst und welche drei Schritte du dafür brauchst.

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Inhaltsübersicht

Wie wandelst du von der Parameterform in die Koordinatenform?

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(00:14)

Eine Ebene kannst du von der Parameterform in die Koordinatenform umwandeln, indem du zuerst ihren Normalenvektor bestimmst.

Die Parameterform einer Ebene E sieht so aus:

$E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$

Dabei ist $\vec{p}$ der Stützvektor, $\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind die Spannvektoren und r, s sind die freien Parameter.

➡️Beispiel:

$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

Schritt 1 — Bilde mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren den Normalenvektor:

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \\ u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3 \\ u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1 \end{pmatrix}$

➡️Beispiel:

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix}$

Wichtig: Die Spannvektoren dürfen nicht kollinear sein. Das heißt, es muss $\vec{u} \times \vec{v} \neq \vec{0}$ gelten.

Schritt 2 — Stelle die Koordinatenform auf:

$E: n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = a$

➡️Beispiel:

E: 3x_1 - 6x_2 + 2x_3 = a

Schritt 3 — Bestimme die Konstante a, indem du den Stützvektor $\vec{p}$ für x₁, x₂ und x₃ einsetzt:

$E: n_1 \cdot p_1 + n_2 \cdot p_2 + n_3 \cdot p_3 = a$

➡️Beispiel:

$a = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 0 + 2 \cdot 2 = 3 + 0 + 4 = 7$ mit $\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Die fertige Koordinatenform lautet also:

E: 3x_1 - 6x_2 + 2x_3 = 7

So kannst du dein Ergebnis überprüfen

Ein kurzer Check, zeigt dir ob dein Ergebnis stimmt. Der Normalenvektor muss senkrecht auf den Spannvektoren stehen. Berechne dafür die beiden Skalarprodukte:

$\vec{n} \cdot \vec{u} \overset{!}{=} 0$
$\vec{n} \cdot \vec{v} \overset{!}{=} 0$

Beide Ergebnisse müssen null sein. Ist das nicht der Fall, liegt ein Vorzeichenfehler oder ein Rechenfehler im Kreuzprodukt vor.

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Wie gehst du bei Sonderfällen vor?

Um die Parameterform in die Koordinatenform umzurechnen, benötigst du immer $\vec{p}$ , $\vec{u}$ und $\vec{v}$ . Manchmal unterscheidet sich aber die Art, wie du diese drei Vektoren aus der Angabe abliest oder berechnest.

Drei Punkte

Hast du drei Punkte A, B und C auf der Ebene gegeben, wählst du einen davon als Stützvektor.

$\vec{p} = \vec{A}$ oder $\vec{B}$ oder $\vec{C}$

Die beiden Spannvektoren berechnest du dann als Differenzen:

$\vec{u} = \vec{B} - \vec{A}$
$\vec{v} = \vec{C} - \vec{A}$

➡️Beispiel: Gegeben sind die Punkte A (1|0|0), B (0|2|0) und C = (0|0|3)

Schritt 1 — Stützvektor und Spannvektoren bestimmen:

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{u} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{v} = \vec{C} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

Schritt 2 — Normalenvektor berechnen:

$\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3 \\ (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

Schritt 3 — Koordinatenform ansetzen und Konstante bestimmen:

$a = 6 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 6$

E: 6x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6

Punkt und Gerade

Liegt die Ebene durch einen Punkt P und eine Gerade g fest, bestimmst du $\vec{p}$ , $\vec{u}$ und $\vec{v}$ so:

$\vec{p}$ = Ortsvektor des gegebenen Punktes P
$\vec{u}$ = Richtungsvektor der Geraden g
$\vec{v}$ = Ortsvektor von P minus Stützvektor $\vec{q}$ der Geraden g: $\vec{v} = \vec{P} - \vec{q}$

➡️Beispiel: Gegeben sind die Punkte P (1|3|2) und $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

Schritt 1 –Stützvektor und Spannvektoren bestimmen:

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{v} = \vec{P} - \vec{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

Schritt 2 — Normalenvektor berechnen:

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 3 - 2 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

Schritt 3 — Koordinatenform ansetzen und Konstante bestimmen:

$a = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 2 - 3 + 6 = 5$

E: 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 5

Parameterform in Koordinatenform — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie finde ich bei einer Ebene in Parameterform die Spannvektoren, die ich fürs Kreuzprodukt brauche?

Die Spannvektoren sind die beiden Vektoren, die in der Parameterform bei $\lambda$ und $\mu$ stehen. Genau diese zwei Vektoren brauchst du für das Kreuzprodukt, um den Normalenvektor zu bekommen. Im Beispiel sind das und .
Wie rechne ich das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren konkret aus?

Du berechnest das Kreuzprodukt komponentenweise und erhältst so den Normalenvektor. Das läuft nach dem Schema $(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1)$ . Zum Beispiel ergibt $(2,5,6)\times(3,0,7)=(35,4,-15)$ .
Was bedeutet es, wenn in der Koordinatenform vor und eine Null steht?

Dann tauchen und in der Gleichung nicht auf, weil der Normalenvektor dort Nullen hat. Das ist nicht falsch, sondern ergibt einfach eine „einfachere“ Ebenengleichung. Im Beispiel führt zu und damit zu .

Geometrie verstehen

Die Umwandlung von der Parameterform in die Koordinatenform gehört zur analytischen Geometrie im Raum. Du arbeitest in diesem Themenfeld mit Punkten, Geraden, Ebenen und Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem. So erkennst du, wie Normalenvektoren, Lagebeziehungen und Gleichungsformen zusammenhängen. Im Mathematikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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