Wie finde ich den Normalenvektor von einer Geraden, wenn ich nur zwei Punkte von der Geraden habe?

Du bildest zuerst einen Richtungsvektor aus den zwei Punkten und drehst ihn dann um 90°. Nimm und , dann ist . Ein Normalenvektor ist .

Wie komme ich von der Normalenform einer Geraden auf die normale Gleichung mit x und y?

Du multiplizierst das Skalarprodukt aus und fasst zu einer Gleichung zusammen. Aus mit und wird , also .

Welche Fehler passieren am häufigsten, wenn ich das Skalarprodukt in der Normalenform ausmultipliziere?

Am häufigsten gehen Vorzeichen und Klammern beim Ausmultiplizieren schief. Typisch ist, fälschlich als zu schreiben, statt . Außerdem wird manchmal mit vertauscht, was die Konstante ändert.

Wie erkenne ich schnell, ob ein Punkt auf der Geraden oder Ebene liegt, wenn die Normalenform gegeben ist?

Du setzt die Punktkoordinaten in ein und prüfst, ob 0 herauskommt. Ersetzt du durch den Punktvektor und gilt , dann liegt der Punkt auf der Geraden bzw. Ebene; sonst nicht.

Warum gibt es im dreidimensionalen Raum keinen eindeutigen Normalenvektor für eine Gerade?

Im gibt es unendlich viele Vektoren, die senkrecht zu einer Geraden stehen. Das liegt daran, dass „senkrecht zur Geraden“ nur „orthogonal zum Richtungsvektor“ bedeutet, und diese orthogonalen Vektoren bilden eine ganze Ebene. Deshalb ist ein Normalenvektor nicht eindeutig.

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Normalenform

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Normalenform einfach erklärt

(00:11)

Normalenform Ebene

(01:23)

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie die Normalenform einer Gerade oder einer Ebene aussieht. Noch schneller verstehst du das Thema mit unserem Video !

Inhaltsübersicht

Normalenform einfach erklärt

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(00:11)

In der Geometrie können Geraden und Ebenen in der Normalform beschrieben werden. Die Normalenform einer Gerade sieht so aus:

$g\colon\textcolor{olive}{\vec{n}} \cdot (\textcolor{blue}{\vec{x}} - \textcolor{orange}{\vec{p}}) = 0$

g = Bezeichnung der Gerade
$\textcolor{olive}{\vec{n}}$ = Normalenvektor (steht senkrecht zur Gerade)
$\textcolor{orange}{\vec{p}}$ = Aufpunkt/Stützvektor

Beispiel: Die Normalenform einer Gerade mit dem Aufpunkt P(2|3) und dem Normalenvektor $\textcolor{olive}{\vec{n} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)}$ lautet:

$g \colon \textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)} \cdot \left ( \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2 \end{array}\right)} - \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right)}\right) = 0$

Wichtig!

Eine Gerade kannst du mit der Normalform nur im zweidimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ beschreiben. Im dreidimensionalen Raum gibt es für eine Gerade keinen eindeutigen Normalenvektor.

Normalenform Ebene

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(01:23)

Die Normalform einer Ebene sieht folgendermaßen aus:

$E\colon \textcolor{olive}{\vec{n}} \cdot (\textcolor{blue}{\vec{x}} - \textcolor{orange}{\vec{p}})= 0$

E = Bezeichnung der Ebene
$\textcolor{olive}{\vec{n}}$ = Normalenvektor (steht senkrecht zur Ebene)
$\textcolor{orange}{\vec{p}}$ = Aufpunkt/Stützvektor

Beispiel:

$E\colon \textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)} \cdot \left( \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)} - \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)} \right) = 0$

Wichtig!

Die Vektoren einer Ebene liegen im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ und haben entsprechend drei Koordinaten x₁, x₂, x₃.

Schau dir für die Normalengleichung Ebene und Gerade zwei Beispiele an!

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Beispiel Normalenvektor Gerade

Die Gerade besitzt den Punkt P(3|4) und den Normalenvektor $\textcolor{olive}{\vec{n} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array}\right)}$ .

Zunächst benötigst du wieder den Vektor des Aufpunkt $\vec{p}$ . Er ergibt sich einfach aus dem Punkt P und lautet $\textcolor{orange}{\vec{p}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right) \right)}$

Die Normalform von g sieht also wie folgt aus:

$g\colon \textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array}\right)} \cdot \left( \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)} - \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right)} \right) = 0$

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Besonders nützlich ist die Normalform bei der Abstandsberechnung .

Beispiel Normalenform Ebene

Die Ebene $E = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ besitzt den Punkt P(1|1|3) und den Normalform Vektoren $\textcolor{olive}{\vec{n} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)}$ . Du berechnest ihn mit dem Kreuzprodukt der beiden Vektoren aus der Parameterform .

Demnach lautet die Ebenengleichung:

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Normalenform — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie finde ich den Normalenvektor von einer Geraden, wenn ich nur zwei Punkte von der Geraden habe?

Du bildest zuerst einen Richtungsvektor aus den zwei Punkten und drehst ihn dann um 90°. Nimm und , dann ist $\vec{d}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1)$ . Ein Normalenvektor ist $\vec{n}=(y_2-y_1,\;-(x_2-x_1))$ .
Wie komme ich von der Normalenform einer Geraden auf die normale Gleichung mit x und y?

Du multiplizierst das Skalarprodukt aus und fasst zu einer Gleichung zusammen. Aus $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{p})=0$ mit $\vec{n}=(a,b)$ und $\vec{p}=(x_0,y_0)$ wird , also .
Welche Fehler passieren am häufigsten, wenn ich das Skalarprodukt in der Normalenform ausmultipliziere?

Am häufigsten gehen Vorzeichen und Klammern beim Ausmultiplizieren schief. Typisch ist, fälschlich als zu schreiben, statt . Außerdem wird manchmal $\vec{x}$ mit $\vec{p}$ vertauscht, was die Konstante ändert.
Wie erkenne ich schnell, ob ein Punkt auf der Geraden oder Ebene liegt, wenn die Normalenform gegeben ist?

Du setzt die Punktkoordinaten in $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{p})=0$ ein und prüfst, ob 0 herauskommt. Ersetzt du $\vec{x}$ durch den Punktvektor $\vec{q}$ und gilt $\vec{n}\cdot(\vec{q}-\vec{p})=0$ , dann liegt der Punkt auf der Geraden bzw. Ebene; sonst nicht.
Warum gibt es im dreidimensionalen Raum keinen eindeutigen Normalenvektor für eine Gerade?

Im $\mathbb{R}^3$ gibt es unendlich viele Vektoren, die senkrecht zu einer Geraden stehen. Das liegt daran, dass „senkrecht zur Geraden“ nur „orthogonal zum Richtungsvektor“ bedeutet, und diese orthogonalen Vektoren bilden eine ganze Ebene. Deshalb ist ein Normalenvektor nicht eindeutig.

Parameterform

Neben der Normalform kannst du jede Gerade und Ebene auch mit der Parameterform und der Koordinatenform darstellen. Damit du alle Aufgaben einfach lösen kannst, solltest du auf jeden Fall alle drei Formen kennen. Mache gleich weiter und schau dir unser Video zur Parameterform an!