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Parameterform in Koordinatenform

In diesem Artikel und unserem Video  lernst du, wie du eine Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform in der Geometrie umwandelst.

Quiz zum Thema Parameterform in Koordinatenform
Inhaltsübersicht

Parameterform in Koordinatenform einfach erklärt

Du willst die Ebene E von der Parameterform in die Koordinatenform umwandeln:

    \begin{align*}\text{E:}&\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}1\\3\\4\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\6\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}3\\0\\7\end{array}\right)}\end{align*}

1.Schritt: Bilde den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt

Zuerst musst du den Normalenvektor berechnen. Das machst du, indem du das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren bestimmst.

    \[\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\6\end{array}\right)}\times\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}3\\0\\7\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}5\cdot7-6\cdot0\\6\cdot3-2\cdot7\\2\cdot0-5\cdot3\end{array}\right)\)=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}35\\4\\-15\end{array}\right)}\]

2.Schritt: Stelle einen ersten Ansatz deiner Koordinatenform auf

Mithilfe des Normalenvektors kannst du deine Ebenengleichung in eine neue Form bringen:

    \begin{align*}\text{E:}\;&\textcolor{red}{35}x_{1}+\textcolor{red}{4}x_{2}\textcolor{red}{-15}x_{3}=\textbf{a}\end{align*}

3.Schritt: Setze deinen Stützvektor ein 

Mit dem Ansatz deiner Koordinatenform kannst du deinen Stützvektor in deine Gleichung einsetzen. Damit bestimmst du a:

    \begin{align*}\textcolor{red}{35}\cdot\textcolor{olive}{1}+\textcolor{red}{4}\cdot\textcolor{olive}{3}\textcolor{red}{-15}\cdot\textcolor{olive}{4}=\textbf{a}\end{align*}

    \begin{align*}-13=\textbf{a}\end{align*}

4.Schritt: Stelle die Koordinatenform auf

Nun musst du nur noch a in deinen Ansatz einsetzen und erhältst deine Koordinatenform:

    \begin{align*} \text{E:}\;& 35x_{1}+4x_{2}-15x_{3}=-13 \end{align*}

Jetzt hast du mit nur 4 Schritten deine Parameterform in die Koordinatenform umgewandelt.

Parameterform in Koordinatenform: Aufgaben

Wie du siehst, ist es gar nicht so schwer, die Parametergleichung in die Koordinatengleichung zu bringen. Mit diesen Aufgaben kannst du die einzelnen Schritte nochmal üben.

Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 1

Bringe die Ebene E in Koordinatenform:

    \begin{align*}\text{E:}\;&\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}3\\1\\0\end{array}\right)}\end{align*}

Mit den 4 Schritten von oben ist das kein Problem.

Lösung:

Zuerst bildest du das Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren

    \[\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)}\times\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}3\\1\\0\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}0\cdot0-1\cdot0\\0\cdot3-0\cdot2\\2\cdot1-3\cdot0\end{array}\right)=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\2\end{array}\right)}\]

Danach stellst du den Ansatz deiner Ebenengleichung neu auf und erhältst:

    \begin{align*}\text{E:}\;&\textcolor{red}{0}x_{1}+\textcolor{red}{0}x_{2}+\textcolor{red}{2}x_{3}=\textbf{a}\end{align*}

Wenn du deinen Stützvektor einsetzt, kannst du wieder a berechnen:

    \begin{align*}0\cdot\textcolor{olive}{1}+0\cdot\textcolor{olive}{0}+2\cdot\textcolor{olive}{0}=\textbf{a}\end{align*}

    \begin{align*}0=\textbf{a}\end{align*}

Da du a berechnet hast, kannst du deine Ebenengleichung in Koordinatenform angeben:

    \begin{align*}\text{E:}\;&2x_{3}=0\end{align*}

Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 2

Bestimme die Koordinatenform der  Ebenengleichung: 

    \begin{align*}\text{E:}\;&\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}3\\2\\3\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\5\\6\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)}\end{align*}

Lösung: 

Wieder musst du zuerst den Normalenvektor bilden. Dafür berechnest du das Kreuzprodukt der Spannvektoren:

    \[\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\5\\6\end{array}\right)}\times\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}-1\\2\\-1\end{array}\right)}\]

Jetzt kannst du den ersten Ansatz deiner Ebenengleichung aufstellen:

    \begin{align*}\text{E:}\;&\textcolor{red}{-1}x_{1}+\textcolor{red}{2}x_{2}\textcolor{red}{-1}x_{3}=\textbf{a}\end{align*}

Durch das Einsetzen des Stützvektors erhältst du wieder a:

    \begin{align*}\text{E:}\;&-1\cdot\textcolor{olive}{3}+2\cdot\textcolor{olive}{2}-1\cdot\textcolor{olive}{3}=\textbf{a}\end{align*}

    \begin{align*}2=\textbf{a}\end{align*}

Jetzt kannst du deine Koordinatenform aufstellen, indem du a in deinen Ansatz vom vorherigen Schritt einsetzt:

    \begin{align*}\text{E:}\;&-x_{1}+2x_{2}-x_{3}=2\end{align*}

Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 3

Stelle die Koordinatenform einer Ebene auf. Über die Ebene weißt du, dass sie die Punkte P1 (2|5|5), P2 (2|4|6) und den Koordinatenursprung O (0|0|0) beinhaltet.

Lösung:

Dieses Mal kannst du die Schritte nicht direkt anwenden. Zuerst musst du die Parameterform der Ebene aufstellen. Also bestimmst du die beiden Spannvektoren \overrightarrow{v}und \overrightarrow{u}. Dafür benötigst du nur die Ortsvektoren der Punkte Pund P2. Die Ortsvektoren entsprechen den Streckenvektoren zwischen dem Nullpunkt und den Punkten Pund P.

    \[\overrightarrow{v}=\overrightarrow{P_{1}}-\overrightarrow{O}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\right)}\]

    \[\overrightarrow{u}=\overrightarrow{P_{2}}-\overrightarrow{O}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}\right)}\]

Jetzt kannst du die Ebene in Parameterform angeben. Dabei entsprechen \overrightarrow{v}und \overrightarrow{u} den Spannvektoren. Deinen Stützvektor erhältst du, indem du den Ortsvektor des Ursprungs O(0|0|0) bildest.

    \begin{align*}\text{E:};&\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}\right)}\end{align*}

Jetzt kannst du wieder nach den einzelnen Schritten vorgehen und die Paramterform in die Koordinatenform umwandeln :

Berechne zuerst mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren deinen Normalenvektor.

    \[\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\right)}\times\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}\right)}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}10\\-2\\-2\end{array}\right)}\]

Stelle nun den neuen Ansatz deiner Ebenengleichung auf.

    \begin{align*}\text{E:}\;&\textcolor{red}{10}x_{1}\textcolor{red}{-2}x_{2}\textcolor{red}{-2}x_{3}=\textbf{a}\end{align*}

Jetzt musst du noch den Stützvektor einsetzen, um a zu bestimmen:

    \[10\cdot\textcolor{olive}{0}-2\cdot\textcolor{olive}{0}-2\cdot\textcolor{olive}{0}=\textbf{a}\]

    \[0=\textbf{a}\]

Wenn du zum Schluss noch a in deine Vorlage einsetzt, erhältst du die Koordinatenform:

    \begin{align*}\text{E:}\;&10x_{1}-2x_{2}-2x_{3}=0\end{align*}

Quiz zum Thema Parameterform in Koordinatenform

Kreuzprodukt

Um die Parameterform in die Koordinatenform umzuwandeln, solltest du auch unbedingt das Kreuzprodukt draufhaben. Schaue dir doch gleich unser Video dazu an.

Zum Video: Kreuzprodukt
Zum Video: Kreuzprodukt

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