Parameterform in Koordinatenform
In diesem Artikel und unserem Video lernst du, wie du eine Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform in der Geometrie umwandelst.
Inhaltsübersicht
Parameterform in Koordinatenform einfach erklärt
Du willst die Ebene E von der Parameterform in die Koordinatenform umwandeln:
1.Schritt: Bilde den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt
Zuerst musst du den Normalenvektor berechnen. Das machst du, indem du das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren bestimmst.
2.Schritt: Stelle einen ersten Ansatz deiner Koordinatenform auf
Mithilfe des Normalenvektors kannst du deine Ebenengleichung in eine neue Form bringen:
3.Schritt: Setze deinen Stützvektor ein
Mit dem Ansatz deiner Koordinatenform kannst du deinen Stützvektor in deine Gleichung einsetzen. Damit bestimmst du a:
4.Schritt: Stelle die Koordinatenform auf
Nun musst du nur noch a in deinen Ansatz einsetzen und erhältst deine Koordinatenform:
Jetzt hast du mit nur 4 Schritten deine Parameterform in die Koordinatenform umgewandelt.
Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 1
Bringe die Ebene E in Koordinatenform:
Mit den 4 Schritten von oben ist das kein Problem.
Lösung:
Zuerst bildest du das Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren.
Danach stellst du den Ansatz deiner Ebenengleichung neu auf und erhältst:
Wenn du deinen Stützvektor einsetzt, kannst du wieder a berechnen:
Da du a berechnet hast, kannst du deine Ebenengleichung in Koordinatenform angeben:
Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 2
Bestimme die Koordinatenform der Ebenengleichung:
Lösung:
Wieder musst du zuerst den Normalenvektor bilden. Dafür berechnest du das Kreuzprodukt der Spannvektoren:
Jetzt kannst du den ersten Ansatz deiner Ebenengleichung aufstellen:
Durch das Einsetzen des Stützvektors erhältst du wieder a:
Jetzt kannst du deine Koordinatenform aufstellen, indem du a in deinen Ansatz vom vorherigen Schritt einsetzt:
Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 3
Stelle die Koordinatenform einer Ebene auf. Über die Ebene weißt du, dass sie die Punkte P1 (2|5|5), P2 (2|4|6) und den Koordinatenursprung O (0|0|0) beinhaltet.
Lösung:
Dieses Mal kannst du die Schritte nicht direkt anwenden. Zuerst musst du die Parameterform der Ebene aufstellen. Also bestimmst du die beiden Spannvektoren und . Dafür benötigst du nur die Ortsvektoren der Punkte P1 und P2. Die Ortsvektoren entsprechen den Streckenvektoren zwischen dem Nullpunkt und den Punkten P1 und P2 .
Jetzt kannst du die Ebene in Parameterform angeben. Dabei entsprechen und den Spannvektoren. Deinen Stützvektor erhältst du, indem du den Ortsvektor des Ursprungs O(0|0|0) bildest.
Jetzt kannst du wieder nach den einzelnen Schritten vorgehen und die Paramterform in die Koordinatenform umwandeln :
Berechne zuerst mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren deinen Normalenvektor.
Stelle nun den neuen Ansatz deiner Ebenengleichung auf.
Jetzt musst du noch den Stützvektor einsetzen, um a zu bestimmen:
Wenn du zum Schluss noch a in deine Vorlage einsetzt, erhältst du die Koordinatenform:
Kreuzprodukt
Um die Parameterform in die Koordinatenform umzuwandeln, solltest du auch unbedingt das Kreuzprodukt draufhaben. Schaue dir doch gleich unser Video dazu an.