Video
Quiz

Teste dein Wissen zum Thema Spurpunkte!

Hier geht's zum Video „Gleichungen lösen
Hier geht's zum Video „Parameterform

Du willst wissen, was die Spurpunkte einer Geraden sind und wie du sie ausrechnest? Dann ist dieser Beitrag und unser Video genau das Richtige für dich!

Quiz zum Thema Spurpunkte
Inhaltsübersicht

Spurpunkte einfach erklärt

Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene. Je nach Koordinatenebene haben die Spurpunkte unterschiedliche Bezeichnungen:

  • S1: Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene
  • S2: Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene
  • S3: Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene
spurpunkte ebene, Spurpunkte, spurpunkt berechnen, spurpunkt, spurpunkte einer geraden, spurpunkte berechnen, spurgerade berechnen, durchstoßpunkt gerade ebene, Koordinatensystem, Ebene, Gerade, Schnittpunkt, dreidimensional
direkt ins Video springen
Spurpunkte einer Geraden

Der Spurpunkt ist also der „Durchstoßpunkt“ der Gerade durch eine Koordinatenebene. Aber wie kannst du Spurpunkte einer Ebene berechnen?

Spurpunkte berechnen – Schritt für Schritt

Schau dir das am Beispiel dieser Geraden an:

    \[g: \, \overrightarrow{x} = \left(\begin{array} {c} \textcolor{red}{4}  \\ \textcolor{teal}{0} \\ \textcolor{blue}{6} \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array} {c} \textcolor{red}{-1}  \\ \textcolor{teal}{5} \\ \textcolor{blue}{3} \end{array}\right) \]

Dann berechnest du den Spurpunkt S1 so:

  • Schritt 1: Setze die 1. Zeile der Geraden gleich 0.

4 + λ (-1) = 0

  • Schritt 2: Löse nach λ auf.

4 + λ (-1) = 0      ⇒      λ = 4

  • Schritt 3: Setze λ in die Geradengleichung ein. Das Ergebnis ist dein Spurpunkt.

    \[\overrightarrow{x} = \left(\begin{array} {c} 4  \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + \textcolor{purple}{4} \cdot \left(\begin{array} {c} -1  \\ 5 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array} {c} 4 + \textcolor{purple}{4} \cdot (-1)  \\ 0 + \textcolor{purple}{4} \cdot 5 \\ 6 + \textcolor{purple}{4} \cdot 3 \end{array}\right) = \textcolor{red}{\left(\begin{array} {c} 0  \\ 20 \\ 18 \end{array}\right)} \]

Beim Spurpunkt S2 funktioniert das genauso:

  • Schritt 1: Setze die 2. Zeile der Geraden gleich 0.

0 + λ 5 = 0

  • Schritt 2: Löse nach λ auf.

0 + λ 5 = 0     ⇒      λ = 0

  • Schritt 3: Setze λ in die Geradengleichung ein. Das Ergebnis ist dein Spurpunkt.

    \[\overrightarrow{x} = \left(\begin{array} {c} 4  \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + \textcolor{purple}{0} \cdot \left(\begin{array} {c} -1  \\ 5 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array} {c} 4 + \textcolor{purple}{0} \cdot (-1)  \\ 0 + \textcolor{purple}{0} \cdot 5 \\ 6 + \textcolor{purple}{0} \cdot 3 \end{array}\right) = \textcolor{teal}{\left(\begin{array} {c} 4  \\ 0 \\ 6 \end{array}\right)} \]

Ebenso kannst du den Spurpunkt S3 berechnen:

  • Schritt 1: Setze die 3. Zeile der Geraden gleich 0.

6 + λ 3 = 0

  • Schritt 2: Löse nach λ auf.

6 + λ 3 = 0     ⇒      λ = -2

  • Schritt 3: Setze λ in die Geradengleichung ein. Das Ergebnis ist dein Spurpunkt.

    \[\overrightarrow{x} = \left(\begin{array} {c} 4  \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + \textcolor{purple}{(-2)} \cdot \left(\begin{array} {c} -1  \\ 5 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array} {c} 4 + \textcolor{purple}{(-2)} \cdot (-1)  \\ 0 + \textcolor{purple}{(-2)} \cdot 5 \\ 6 + \textcolor{purple}{(-2)} \cdot 3 \end{array}\right) = \textcolor{blue}{\left(\begin{array} {c} 6  \\ -10 \\ 0 \end{array}\right)} \]

Allgemein kannst du beim Spurpunkt berechnen so vorgehen:

Spurpunkt berechnen – kurz & knapp
  • Schritt 1: Setze die jeweilige Koordinate der Geraden gleich 0.
    • für S1: erste Zeile = 0
    • für S2: zweite Zeile = 0
    • für S3: dritte Zeile = 0
  • Schritt 2: Löse nach λ auf.
  • Schritt 3: Setze λ in die Geradengleichung ein. Dein Ergebnis, ein Vektor, ist der Schnittpunkt mit einer Koordinatenebene, also dein Spurpunkt
Quiz zum Thema Spurpunkte

Parameterform von Ebenen

Super, jetzt weißt du, wie du Spurpunkte berechnen kannst! Spurpunkte einer Geraden geben dir sehr schnell die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen an. Wenn Geraden andere Ebenen schneiden, brauchst du hingegen immer eine Ebenengleichung wie die Parameterform . Schau dir gleich unser Video dazu an!

Zum Video: Parameterform
Zum Video: Parameterform

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte .