Wie erkenne ich bei einer Ebene in Koordinatenform, was ich als Erstes machen muss?

Als Erstes bestimmst du drei Punkte, die die Koordinatenform erfüllen. Dafür nimmst du am besten die Spurpunkte, also die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Konkret setzt du jeweils zwei Koordinaten gleich Null und berechnest die dritte Koordinate.

Wie finde ich schnell drei Punkte, die auf der Ebene liegen?

Du findest schnell drei Punkte, indem du die Spurpunkte berechnest: Setze immer zwei Koordinaten gleich Null. Übrig bleibt eine einfache Gleichung für die dritte Koordinate, die du löst. So erhältst du drei Punkte, zum Beispiel (0|0|4), (0|4|0) und (4|0|0).

Wie bilde ich aus den drei Punkten die zwei Spannvektoren richtig?

Du bildest die Spannvektoren, indem du von einem Startpunkt aus zu den beiden anderen Punkten gehst. Rechne dazu die Differenzen der Ortsvektoren: und . So entstehen zwei Richtungsvektoren in der Ebene.

Wie setze ich Stützvektor und Spannvektoren zur Parameterform zusammen?

Du setzt die Parameterform zusammen, indem du einen deiner Punkte als Stützvektor wählst und die beiden Spannvektoren mit Parametern addierst. Das sieht so aus: . Zum Beispiel kannst du als verwenden.

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Koordinatenform in Parameterform

Wichtige Inhalte in diesem Video

Koordinatenform in Parameterform einfach erklärt

(00:12)

1. Schritt: Bestimme drei Punkte

(00:23)

2. Schritt: Bilde die Spannvektoren

(02:02)

3.Schritt: Stelle die Parameterform auf

(02:41)

Wie du eine Ebene von der Koordinatenform zur Parameterform umwandelst, lernst du in diesem Artikel und Video .

Inhaltsübersicht

Koordinatenform in Parameterform einfach erklärt

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(00:12)

Um eine Ebene von der Koordinatenform in die Parameterform umzurechnen, brauchst du drei Schritte:

Koordinatenform in Parameterform – kurz & kanpp

Schritt: Bestimme drei Punkte
Schritt: Bilde die Spannvektoren
Schritt: Stelle die Parameterform auf

Schau dir das gleich an der Ebene E an.

$E:x_{1}+x_{2}+x_{3}-4=0 \; \overset{?}{\rightarrow} \; \overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\overrightarrow{A}}+\lambda \textcolor{blue}{\overrightarrow{v}} + \mu \textcolor{blue}{\overrightarrow{u}}$

1. Schritt: Bestimme drei Punkte

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(00:23)

Als erstes findest du drei Punkte, die in deiner Ebene liegen. Am besten nimmst du dafür die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen). Dafür setzt du jeweils zwei Koordinaten gleich Null und bestimmst die dritte Koordinate. Fang mit x₁=0 und x₂=0 an:

$\begin{align*}0+0+x_{3}-4&=0\\ x_{3}&=4\end{align*}$

Damit hast du deinen ersten Punkt P₁(0|0|4) bestimmt. Mit der selben Herangehensweise erhältst du die Punkte P₂(0|4|0) und P₃ (4|0|0).

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2. Schritt: Bilde die Spannvektoren

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(02:02)

Um die Spannvektoren zu bestimmen, kannst du jetzt die Ortsvektoren deiner Punkte benutzen. Dafür ziehst du einfach den Ortsvektor von P₁ jeweils von P₂und P₃ ab:

$\textcolor{blue}{\overrightarrow{v}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{2}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\4\\0\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0-0\\4-0\\0-4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\4\\-4\end{array}\right)}$

$\textcolor{blue}{\overrightarrow{u}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{3}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\0\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4-0\\0-0\\0-4\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\-4\end{array}\right)}$

3.Schritt: Stelle die Parameterform auf

im Videozur Stelle im Video springen

(02:41)

Jetzt kannst du deine Parametergleichung aufstellen. Du wählst einen deiner Punkte als Stützvektor (zum Beispiel P₁)und setzt deine Spannvektoren in deine Parametervorlage ein:

$E:\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\4\\-4\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\-4\end{array}\right)}$

Aufgabe: Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Um die einzelnen Schritte zu vertiefen, kannst du eine Aufgabe dazu rechnen:

Aufgabe

Forme die Ebene von der Koordinatenform in die Parameterform um.

$E:x_{1}+x_{2}+5x_{3}-5=0$

Lösung: Halte dich einfach an die drei Schritte von oben!

1.Schritt: Bestimme drei Punkte

Zuerst suchst du dir deine Spurpunkte, indem du x₁und x₂gleich Null setzt.

$\begin{align*}x_{1}&=0\\ x_{2}&=0\end{align*}$

Dann löst du die übrig gebliebene Gleichung auf:

$\begin{align*}5x_{3}-5&=0\\ x_{3}&=1\end{align*}$

Jetzt hast du deinen ersten Punkt P₁ (0|0|1). Als Nächstes setzt du x₁ und x₃ gleich Null:

$\begin{align*}x_{1}&=0\\ x_{3}&=0\end{align*}$

Löse die Gleichung:

$\begin{align*}x_{2}-5&=0\\ x_{2}&=5\end{align*}$

Das führt zu deinem zweiten Punkt P₂ (0|5|0). Jetzt kannst du x₂ und x₃ gleich Null setzen:

$\begin{align*}x_{2}&=0\\ x_{3}&=0\end{align*}$

Wenn du das in deine Koordinatenform einsetzt, erhältst du:

$\begin{align*}x_{1}-5=0\end{align*}$

Wenn du die Gleichung löst, kannst du deinen dritten Spurpunkt bestimmen:

$x_{1}=5$

Dein letzter Punkt ist also P₃ (5|0|0).

2. Schritt: Bilde die Spannvektoren

Dir fehlen nur noch deine Spannvektoren, die du wieder mit Hilfe deiner drei Punkte bildest. Du ziehst von den Ortsvektoren von P₂und P₃den Ortsvektor von P₁ab und erhältst:

$\textcolor{blue}{\overrightarrow{v}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{2}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\5\\0\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0-0\\5-0\\0-1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\5\\-1\end{array}\right)}$

$\textcolor{blue}{\overrightarrow{u}}=\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{3}}}-\textcolor{red}{\overrightarrow{P_{1}}}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}5\\0\\\end{array}\right)}-\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}5-0\\0-0\\0-1\end{array}\right)}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}5\\0\\-1\end{array}\right)}$

3. Schritt: Stelle die Parameterform auf

Jetzt stellst du deine Parameterform auf, indem du als Stützvektor deinen Punkt P₁wählst und die Spannvektoren einsetzt:

$E:\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}0\\5\\-1\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}5\\0\\-1\end{array}\right)}$

Koordinatenform in Parameterform — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich bei einer Ebene in Koordinatenform, was ich als Erstes machen muss?

Als Erstes bestimmst du drei Punkte, die die Koordinatenform erfüllen. Dafür nimmst du am besten die Spurpunkte, also die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Konkret setzt du jeweils zwei Koordinaten gleich Null und berechnest die dritte Koordinate.
Wie finde ich schnell drei Punkte, die auf der Ebene liegen?

Du findest schnell drei Punkte, indem du die Spurpunkte berechnest: Setze immer zwei Koordinaten gleich Null. Übrig bleibt eine einfache Gleichung für die dritte Koordinate, die du löst. So erhältst du drei Punkte, zum Beispiel (0|0|4), (0|4|0) und (4|0|0).
Wie bilde ich aus den drei Punkten die zwei Spannvektoren richtig?

Du bildest die Spannvektoren, indem du von einem Startpunkt aus zu den beiden anderen Punkten gehst. Rechne dazu die Differenzen der Ortsvektoren: $\vec v=\overrightarrow{P_2}-\overrightarrow{P_1}$ und $\vec u=\overrightarrow{P_3}-\overrightarrow{P_1}$ . So entstehen zwei Richtungsvektoren in der Ebene.
Wie setze ich Stützvektor und Spannvektoren zur Parameterform zusammen?

Du setzt die Parameterform zusammen, indem du einen deiner Punkte als Stützvektor wählst und die beiden Spannvektoren mit Parametern addierst. Das sieht so aus: $\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda\vec v+\mu\vec u$ . Zum Beispiel kannst du als $\overrightarrow{A}$ verwenden.

Parameterform in Koordinatenform

Du kannst jetzt die Koordinatenform in die Parametergleichung umwandeln, aber kannst du es auch andersrum? Falls nicht, schau dir doch unser Video zu Parameterform in Koordinatenform an!