Wie erkenne ich in einer Aufgabe, ob ich den Radius brauche?

Du erkennst, dass du den Radius brauchst, wenn in der Aufgabe Formeln mit vorkommen, also beim Umfang oder beim Flächeninhalt . Ist nur der Durchmesser gegeben, rechnest du zuerst aus.

Welche Fehler passieren oft beim Umfang und beim Flächeninhalt?

Häufige Fehler sind, Umfang und Flächeninhalt zu verwechseln und die falsche Formel zu nehmen. Außerdem wird oft der Durchmesser fälschlich als Radius eingesetzt. Beispiel: Bei gilt , also , nicht .

Wie berechne ich den Umfang, wenn nur der Durchmesser gegeben ist?

Den Umfang mit gegebenem Durchmesser berechnest du mit . Das folgt aus und . Konkret bedeutet das: Du musst den Radius nicht extra ausrechnen, wenn du direkt verwendest.

Wie unterscheide ich eine Sehne von einer Sekante?

Eine Sekante ist eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet, also auch außerhalb des Kreises weiterläuft. Eine Sehne ist nur das Streckenstück zwischen diesen beiden Schnittpunkten und liegt vollständig im Kreisinneren. Beispiel: Schneidet eine Gerade den Kreis zweimal, ist der Innen-Abschnitt die Sehne.

Warum ist eine Tangente immer senkrecht zum Radius am Berührpunkt?

Eine Tangente steht am Berührpunkt senkrecht auf dem Radius, weil der Radius zum Berührpunkt die kürzeste Verbindung vom Mittelpunkt zur Tangente ist. Wäre die Tangente nicht rechtwinklig, gäbe es einen Punkt auf der Tangente, der näher am Mittelpunkt liegt als der Berührpunkt, dann würde die Gerade den Kreis schneiden.

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Kreis

Wichtige Inhalte in diesem Video

Kreis Definition

(00:12)

Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Kreislinie

(00:32)

Wichtige Begriffe im Kreis

Du willst alles Wichtige über den Kreis erfahren? Dann bist du hier und in unserem Video genau richtig!

Inhaltsübersicht

Kreis Definition

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(00:12)

Der Kreis gehört zu den geometrischen Figuren . Er ist komplett rund und wird durch eine Kreislinie abgeschlossen. Alle Punkte auf dieser Kreislinie sind gleich weit vom Mittelpunkt M entfernt. Den Abstand vom Mittelpunkt M zu jedem Punkt auf der Kreislinie nennst du auch Radius r.

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Es gibt ein paar wichtige Kreis Begriffe, die du kennen solltest. Schau sie dir jetzt an!

Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Kreislinie

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(00:32)

Mittelpunkt

Der Mittelpunkt M liegt in der Mitte des Kreises. Alle Punkte auf der Kreislinie haben den gleichen Abstand zu ihm.

Radius

Der Radius r ist der Abstand von einem Punkt der Kreislinie zum Mittelpunkt M. Er beschreibt nicht nur eine Länge, sondern auch eine Strecke vom Mittelpunkt M zu einem anderen Punkt auf der Kreislinie.

Durchmesser

Der Durchmesser d ist der größtmögliche Abstand von zwei Punkten der Kreislinie. Die Punkte liegen dabei genau gegenüber voneinander. Der Durchmesser verläuft immer durch den Mittelpunkt M. Auch er beschreibt nicht nur eine Länge, sondern auch eine Strecke.

Radius und Durchmesser

Der Durchmesser d ist doppelt so lang wie der Radius r:

d = 2 · r

Der Radius r ist halb so lang wie der Durchmesser d:

r = ½ · d

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Wichtige Begriffe im Kreis

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(01:06)

Andere Begriffe zum Kreis, wie Kreisinneres und -äußeres zeigen wir dir hier. Auch besondere Punkte und Geraden im Kreis solltest du kennen.

Kreisinneres und Kreisäußeres

Das Kreisinnere bezeichnet die Fläche innerhalb der Kreislinie. Der Abstand von Punkten im Kreisinneren zum Mittelpunkt ( $\overline{MP}$ ) ist also immer kleiner als der Radius r.

$\overline{MP}$ < r

Das Kreisäußere bezeichnet die Fläche außerhalb der Kreislinie. Der Abstand von Punkten im Kreisäußeren zum Mittelpunkt ist immer größer als der Radius r.

$\overline{MP}$ > r

Kreis und Punkte

Es gibt ein paar wichtige Punkte am Kreis, die wir dir hier vorstellen:

Randpunkt

Alle Punkte, die auf der Kreislinie liegen, sind Randpunkte. Es gilt

$\overline{MP}$ = r

Mathematisch kannst du die Randpunkte so schreiben: P ∈ k(M;r), also Punkt P ist ein Element von der Kreislinie.

Innerer Punkt

Alle Punkte im Kreisinneren nennst du innere Punkte. Es gilt

$\overline{MP}$ < r

Äußerer Punkt

Alle Punkte im Kreisäußeren nennst du äußere Punkte. Es gilt

$\overline{MP}$ > r

Kreis und Geraden

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(01:48)

Vielleicht kennst du auch die Begriffe Passante, Sekante und Tangente. Was es damit auf sich hat, siehst du hier:

Geraden am Kreis, Passante, Tangente, Sekante — Geraden am Kreis

Eine Gerade, die den Kreis

in keinem Punkt berührt, nennst du Passante.
in einem Punkt berührt, nennst du Tangente .
in zwei Punkten schneidet, nennst du Sekante .

Übrigens:

Eine Sekante, die durch den Mittelpunkt verläuft, nennst du Zentrale.
Den Teil einer Sekante, der im Kreisinneren liegt, nennst du Sehne. (Die längste Sehne ist der Durchmesser d)

Kreis Formeln

Für einige Kreis Formeln brauchst du die Kreiszahl π (Pi). Gerundet ist π ≈ 3,14.

Hier hast du einen Überblick über alle wichtigen Kreisformeln :

Radius r = ½ · d
Durchmesser d = 2 · r
Umfang U = 2π · r
Flächeninhalt A = π · r²

Kreisteile

Einzelne Teile des Kreises haben eigene Bezeichnungen. Hier siehst du sie:

Kreisbogen und Kreisausschnitt

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(02:11)

Der Kreisbogen b ist ein Teil der Kreislinie. Die Kreisbogenlänge b hängt von dem Winkel α ab. Du berechnest ihn mit der Formel:

$\textcolor{red}{b} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}$

Der Kreisausschnitt oder Kreissektor A_s ist ein Teil des Flächeninhalts eines Kreises. Der Kreisausschnitt hängt vom Winkel α ab. Du berechnest ihn mit der Formel

$\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2$ .

Kreis, Winkel, Bogen, Radius, Durchmesser — Kreisbogen und Kreisausschnitt

Kreisring

Der Kreisring ist die Fläche, die einen Kreis mit großem Radius r_g und einen Kreis mit kleinem Radius r_k einschließt. Sie haben denselben Mittelpunkt M.

Kreis — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich in einer Aufgabe, ob ich den Radius brauche?

Du erkennst, dass du den Radius brauchst, wenn in der Aufgabe Formeln mit vorkommen, also beim Umfang $U = 2\pi r$ oder beim Flächeninhalt $A = \pi r^2$ . Ist nur der Durchmesser gegeben, rechnest du zuerst $r = \frac{1}{2}d$ aus.
Welche Fehler passieren oft beim Umfang und beim Flächeninhalt?

Häufige Fehler sind, Umfang und Flächeninhalt zu verwechseln und die falsche Formel zu nehmen. Außerdem wird oft der Durchmesser fälschlich als Radius eingesetzt. Beispiel: Bei gilt , also $U = 2\pi\cdot 5$ , nicht $2\pi\cdot 10$ .
Wie berechne ich den Umfang, wenn nur der Durchmesser gegeben ist?

Den Umfang mit gegebenem Durchmesser berechnest du mit $U = \pi d$ . Das folgt aus $U = 2\pi r$ und . Konkret bedeutet das: Du musst den Radius nicht extra ausrechnen, wenn du direkt $U = \pi d$ verwendest.
Wie unterscheide ich eine Sehne von einer Sekante?

Eine Sekante ist eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet, also auch außerhalb des Kreises weiterläuft. Eine Sehne ist nur das Streckenstück zwischen diesen beiden Schnittpunkten und liegt vollständig im Kreisinneren. Beispiel: Schneidet eine Gerade den Kreis zweimal, ist der Innen-Abschnitt die Sehne.
Warum ist eine Tangente immer senkrecht zum Radius am Berührpunkt?

Eine Tangente steht am Berührpunkt senkrecht auf dem Radius, weil der Radius zum Berührpunkt die kürzeste Verbindung vom Mittelpunkt zur Tangente ist. Wäre die Tangente nicht rechtwinklig, gäbe es einen Punkt auf der Tangente, der näher am Mittelpunkt liegt als der Berührpunkt, dann würde die Gerade den Kreis schneiden.