Warum gibt es zu einer Ebene unendlich viele Normalenvektoren?

Zu einer Ebene gibt es unendlich viele Normalenvektoren, weil jeder von null verschiedene Vielfache eines Normalenvektors wieder senkrecht zur Ebene steht. Wenn normal ist, dann ist auch für jedes normal. Außerdem zeigen und in entgegengesetzte Richtungen, bleiben aber beide normal.

Wie prüfe ich schnell, ob ein Vektor wirklich normal zur Ebene ist?

Ein Vektor ist genau dann normal zur Ebene, wenn er zu zwei unabhängigen Richtungsvektoren der Ebene orthogonal ist, also wenn beide Skalarprodukte und gelten. Beispiel: Für , ist normal, weil beide Produkte 0 sind.

Welche Fehler passieren oft beim Kreuzprodukt für den Normalenvektor?

Häufige Fehler beim Kreuzprodukt sind vertauschte Reihenfolge (das Ergebnis bekommt dann nur das Vorzeichen), Vorzeichenfehler bei den Komponenten und das Vermischen von Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Beispiel: und liefern Normalenvektoren, aber mit entgegengesetzter Richtung, also und .

Wann liefert das Kreuzprodukt keinen brauchbaren Normalenvektor für eine Ebene?

Das Kreuzprodukt liefert keinen brauchbaren Normalenvektor, wenn die beiden verwendeten Richtungsvektoren parallel sind oder einer der Vektoren der Nullvektor ist. Dann ist und der Nullvektor kann keine Normale festlegen. Beispiel: Für ist das Kreuzprodukt immer .

Wie finde ich einen Normalenvektor, wenn ich drei Punkte der Ebene habe?

Aus drei Punkten der Ebene erhältst du einen Normalenvektor, indem du zwei Spannvektoren bildest und kreuzt: und , dann . Das klappt nur, wenn nicht auf einer Geraden liegen, sonst wird .

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Normalenvektor

Wichtige Inhalte in diesem Video

Normalenvektor einfach erklärt

(00:10)

Normalenvektor bestimmen

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Normalenvektor berechnen

(02:02)

Du musst den Normalenvektor einer Ebene bestimmen? Im Video erfährst du, wie das geht!

Inhaltsübersicht

Normalenvektor einfach erklärt

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(00:10)

Ein Normalenvektor (oder Normalvektor) ist ein Vektor, der senkrecht auf etwas anderem steht. Das kann eine Gerade, eine Ebene, eine Fläche oder auch eine gekrümmte Linie, wie zum Beispiel ein Kreis, sein. In der Mathematik sagt man statt senkrecht auch häufig, dass der Vektor orthogonal zu etwas ist. Ein solcher Vektor wird in der Regel mit $\vec{n}$ bezeichnet.

Meistens wirst du den Normalvektor $\vec{n}$ einer Ebene suchen. Das ist also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht, so wie im Bild.

Normalenvektor einer Ebene, Normalenvektor, Normalvektor — Normalenvektor einer Ebene

Normalenvektor bestimmen

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(00:25)

Wenn du den Normalenvektor einer Ebene oder Gerade bestimmen sollst, dann suchst du also einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene oder Gerade steht.

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Normalenvektor Ebene

Für jede Darstellung einer Ebene kannst du einen Normalenvektor bestimmen.

Normalenform einer Ebene

Hier ist es besonders leicht, den Normalvektor zu bestimmen. Du kannst ihn nämlich einfach ablesen.

$E: \left( \left( \begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\\end{array} \right) - \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\\\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r}4\\2\\1\\\end{array}\right) = 0$

In diesem Beispiel ist der Normalvektor $\vec{n} = \left(\begin{array}{r}4\\2\\1\\\end{array}\right)$ .

In der allgemeinen Normalenform siehst du auch nochmal den Normalenvektor $\vec{n}$ .

$E: \left( \vec{x} - \vec{p} \right) \cdot \vec{n} = 0$

Koordinatenform einer Ebene

Auch hier kannst du den Normalvektor einfach wieder ablesen. Schau dir zunächst das Beispiel an.

E: 4x_1 + 2x_2 + 1x_3 - 7 = 0

Hier setzt sich der gesuchte Vektor aus den Zahlen vor x_1 , x_2 und x_3 zusammen.

$\vec{n} = \left( \begin{array}{r}4\\2\\1\\\end{array}\right)$

Das erkennst du auch in der allgemeinen Koordinatenform .

E: n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-y=0 mit $\vec{n} = \left( \begin{array}{r}n_1\\n_2\\n_3\\\end{array}\right)$

Parameterform einer Ebene

In diesem Fall kannst du den Normalvektor leider nicht so einfach ablesen. Stattdessen musst du ihn berechnen.

$E: \vec{x} = \left( \begin{array}{r}0\\0\\7\\\end{array}\right) + \lambda \left(\begin{array}{r}1\\0\\-4\\\end{array}\right) + \mu \left(\begin{array}{r}0\\1\\-2\\\end{array}\right)$

Dafür bildest du das Kreuzprodukt aus den sogenannten Richtungsvektoren , also dem Vektor hinter $\lambda$ und dem Vektor hinter $\mu$ .

$\vec{r_1} \times \vec{r_2} = \left( \begin{array}{r}1\\0\\-4\\\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{r}0\\1\\-2\\\end{array}\right) = \left( \begin{array}{r}0 \cdot (-2) - 1\cdot(-4)\\(-4)\cdot0-1\cdot(-2)\\1\cdot1-0\cdot0\\\end{array}\right) = \left( \begin{array}{r}4\\2\\1\\\end{array}\right)=\vec{n}$

Das funktioniert bei jeder Ebene in Parameterform . Die allgemeine Ebene

$E: \vec{x} = \vec{a} + \lambda \vec{r_1} + \mu \vec{r_2}$

hat somit den Normalenvektor $\vec{n} = \vec{r_1} \times \vec{r_2}$ .

Normalenvektor Gerade

Du kannst aber auch einen Normalenvektor zu einer Gerade bestimmen. Hier siehst du ein Beispiel für eine Geradengleichung.

3x+5y+2 =0

Den Normalvektor der Gerade kannst du einfach wieder ablesen.

$\vec{n} = \left( \begin{array}{r}3\\5\\\end{array} \right)$

Allgemein hat eine Gerade also die Form

G: ax+by+d=0 mit $\vec{n} = \left( \begin{array}{r}a\\b\\\end{array}\right)$ .

Normalenvektor berechnen

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(02:02)

Du kannst natürlich auch einen Normalvektor zu zwei beliebigen Vektoren berechnen. Dafür bildest du einfach das Kreuzprodukt aus den beiden Vektoren. Der so entstandene Vektor ist dann nämlich senkrecht zu den beiden anderen.

Beispiel

Diese Ebene ist wieder in Parameterform gegeben.

$E: \vec{x} = \left( \begin{array}{r}1\\2\\3\\\end{array}\right) + \lambda \left(\begin{array}{r}3\\0\\1\\\end{array}\right) + \mu \left(\begin{array}{r}2\\-1\\4\\\end{array}\right)$

Jetzt kannst du wieder den Normalenvektor berechnen, indem du das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren bildest.

$\vec{n} = \left(\begin{array}{r}3\\0\\1\\\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{r}2\\-1\\4\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}0 \cdot 4 - 1 \cdot (-1)\\1 \cdot 2 - 3 \cdot 4\\3 \cdot (-1) - 0 \cdot 2\\\end{array}\right) = \left( \begin{array}{r}1\\-10\\-3\\\end{array}\right)$

Normalenvektor — kurz & knapp

Der Normalenvektor (oder Normalvektor) ist in der Geometrie ein Vektor, der senkrecht (orthogonla) auf einem Objekt steht, zum Beispiel auf einer Ebene, Gerade, Kurve oder Fläche. Der Normalenvektor ist außerdem der Richtungsvektor der sogenannten Normale .

Bei Ebenen berechnest du den Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt oder du kannst ihn schon an der Geradengleichung ablesen.

Normalenvektor — häufigste Fragen

(ausklappen)

Warum gibt es zu einer Ebene unendlich viele Normalenvektoren?

Zu einer Ebene gibt es unendlich viele Normalenvektoren, weil jeder von null verschiedene Vielfache eines Normalenvektors wieder senkrecht zur Ebene steht. Wenn $\vec{n}$ normal ist, dann ist auch $k\vec{n}$ für jedes $k \neq 0$ normal. Außerdem zeigen $\vec{n}$ und $-\vec{n}$ in entgegengesetzte Richtungen, bleiben aber beide normal.
Wie prüfe ich schnell, ob ein Vektor wirklich normal zur Ebene ist?

Ein Vektor ist genau dann normal zur Ebene, wenn er zu zwei unabhängigen Richtungsvektoren der Ebene orthogonal ist, also wenn beide Skalarprodukte $\,\vec{n}\cdot\vec{r_1}=0\,$ und $\,\vec{n}\cdot\vec{r_2}=0\,$ gelten. Beispiel: Für $\vec{r_1}=(1,0,0)$ , $\vec{r_2}=(0,1,0)$ ist $\vec{n}=(0,0,1)$ normal, weil beide Produkte 0 sind.
Welche Fehler passieren oft beim Kreuzprodukt für den Normalenvektor?

Häufige Fehler beim Kreuzprodukt sind vertauschte Reihenfolge (das Ergebnis bekommt dann nur das Vorzeichen), Vorzeichenfehler bei den Komponenten und das Vermischen von Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Beispiel: $\vec{r_1}\times\vec{r_2}$ und $\vec{r_2}\times\vec{r_1}$ liefern Normalenvektoren, aber mit entgegengesetzter Richtung, also $\vec{n}$ und $-\vec{n}$ .
Wann liefert das Kreuzprodukt keinen brauchbaren Normalenvektor für eine Ebene?

Das Kreuzprodukt liefert keinen brauchbaren Normalenvektor, wenn die beiden verwendeten Richtungsvektoren parallel sind oder einer der Vektoren der Nullvektor ist. Dann ist $\vec{r_1}\times\vec{r_2}=\vec{0}$ und der Nullvektor kann keine Normale festlegen. Beispiel: Für $\vec{r_2}=2\vec{r_1}$ ist das Kreuzprodukt immer $\vec{0}$ .
Wie finde ich einen Normalenvektor, wenn ich drei Punkte der Ebene habe?

Aus drei Punkten der Ebene erhältst du einen Normalenvektor, indem du zwei Spannvektoren bildest und kreuzt: $\vec{r_1}=\overrightarrow{AB}=B-A$ und $\vec{r_2}=\overrightarrow{AC}=C-A$ , dann $\vec{n}=\vec{r_1}\times\vec{r_2}$ . Das klappt nur, wenn nicht auf einer Geraden liegen, sonst wird $\vec{n}=\vec{0}$ .

Normalenform

Jetzt kannst du den Normalvektor einer Ebene ausrechnen. Du kannst mit seiner Hilfe aber auch Parameterform einer Ebene in die Koordinatenform umwandeln. Wie das geht, erfährst du hier !