Primzahlen
Du fragst dich, was Primzahlen sind und wie du sie von anderen natürlichen Zahlen unterscheidest? Wie das funktioniert erfährst du in unserem Beitrag und Video.
Inhaltsübersicht
Was sind Primzahlen?
Es gibt Zahlen, die genau zwei Teiler haben, nämlich sich selbst und 1. Diese Zahlen nennst du Primzahlen.
- Die 5 ist beispielsweise eine Primzahl, da du sie nur durch 1 und durch 5 teilen kannst.
- Die 4 dagegen kannst du neben der 1 und der 4 auch noch durch 2 teilen. Sie hat also mehr als zwei Teiler und ist damit keine Primzahl.
Primzahlen sind natürliche Zahlen größer 1, die genau zwei Teiler haben. Sie sind nur durch sich selbst und durch 1 teilbar. Eine Zahl ist entweder eine Primzahl oder kann durch eine Primzahl geteilt werden (Primteiler).
Die Primzahlen bis 100 lauten: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Wie du erkennen kannst, sind — abgesehen von der Zahl 2 — alle Primzahlen ungerade.
Primzahlen findest du übrigens mit dem Sieb des Eratosthenes.
Häufige Fragen zu den Primzahlen
Gibt es eine größte Primzahl?
Nein, es gibt unendlich viele Primzahlen. Das hat Euklid schon vor über 2000 Jahren bewiesen.
Ist 0 eine Primzahl?
Nein. Eine Voraussetzung für eine Primzahl ist, dass sie durch sich selbst teilbar ist. Da es nicht erlaubt ist, Zahlen durch 0 zu teilen, ist diese Voraussetzung nicht erfüllt. 0 ist daher keine Primzahl.
Ist 1 eine Primzahl?
Nein. Primzahlen haben immer 2 unterschiedliche Teiler. Du kannst sie durch sich selbst und durch 1 teilen. Bei der 1 wäre das in beiden Fällen die 1. Sie hat also nur einen Teiler und ist deshalb auch keine Primzahl.
Was sind Primzahlzwillinge und Primzahldrillinge?
Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, die den Abstand 2 haben. Beispiele sind 11 und 13 oder 17 und 19. Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Primzahldrillinge sind drei Primzahlen, die eine Differenz von 2 haben. 3, 5 und 7 ist der einzige Primzahldrilling.
Primzahlen berechnen
Du fragst dich sicher: Wie kann ich erkennen, ob eine Zahl eine Primzahl ist? Um das herauszufinden, versuchst du einfach, deine Zahl durch eine andere Zahl als 1 oder sich selbst zu teilen. Wenn dir das nicht gelingt, kannst du dir sicher sein: Es ist eine Primzahl.
Beispiel: Ist 21 eine Primzahl?
21 ist durch 1 und sich selbst teilbar. Allerdings kannst du 21 auch durch 7 teilen. Damit hat 21 mehr als zwei Teiler und ist daher keine Primzahl.
Beispiel: Ist 19 eine Primzahl?
Du findest keine andere Zahl als 19 oder 1, mit der du 19 teilen kannst. 19 ist also eine Primzahl.
Verwendung von Primzahlen
Primzahlen sind nicht nur in vielen mathematischen Verfahren hilfreich. Sie haben auch andere Anwendungsbereiche: Sie können beispielsweise deinen Alltag sicherer machen. Du nutzt sie deswegen zum Beispiel in den folgenden Anwendungsfällen:
- Primfaktorzerlegung
- größten gemeinsamen Teiler bestimmen
- kleinstes gemeinsames Vielfaches bestimmten
- Datenverschlüsslung
Primfaktorzerlegung
Jede Zahl größer 1 ist entweder eine Primzahl oder du kannst sie in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen (Fundamentalsatz der Arithmetik). Dieser Vorgang wird dann als Primfaktorzerlegung bezeichnet.
Beispiel: Zerlege die Zahl 30 in Primfaktoren.
1. Finde heraus durch welche Primzahl 30 teilbar ist: Versuche dabei zuerst durch die kleinste Primzahl 2 zu teilen.
![\[30 : 2 = 15\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0826866d5dfd6cb9770c5ec675fc09bc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2. Schreibe 30 in ein Produkt um.
![\[30=2\cdot15\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f69ed9c996d86ee1db26d66629c34995_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3. Wiederhole die ersten beiden Schritte solange, bis auch die letzte Zahl eine Primzahl ist.
- Ist 15 weiter zerlegbar?
15 ist nicht durch 2 teilbar. Du kannst die Zahl aber durch 3 teilen.
![\[30 = 2 \cdot 3 \cdot5\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-861e0db9a674fd0b6edade1831f07b86_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Ist 5 weiter zerlegbar?
Da 5 selbst eine Primzahl ist, kannst du sie nicht weiter zerlegen. Deine Primfaktorzerlegung ist also fertig. Deine Zahl 30 ist also ein Produkt der Primzahlen 2, 3 und 5.
Abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren, ist die Primfaktorzerlegung eindeutig.
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Mit der Primfaktorzerlegung kannst du außerdem den größten Teiler finden, durch den zwei Zahlen teilbar sind (größter gemeinsamer Teiler). Wenn du mehr über die Berechnung des ggT erfahren willst, sieh dir unseren Beitrag dazu an!
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Das Gegenstück zum ggT bildet das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Es gibt die kleinste Zahl an, die ein Produkt der einen und der anderen Zahl sein kann. Zur Berechnung des kgV haben wir einen Beitrag für dich vorbereitet, schau gleich hinein!
Primzahlen in der Kryptographie
In der Kryptographie sind Primzahlen bei der Verschlüsselung von Daten von großer Bedeutung. Das RSA-Verfahren basiert darauf, schnell große Primzahlen zu finden.
Primzahlen bis 1000
Damit du mehr über Primzahlen bis 1000 erfahren kannst, haben wir einen Extra-Beitrag für dich vorbereitet. Sieh ihn dir gleich an!