Dreieck
Du willst wissen, was ein Dreieck ist und wie du es konstruierst? All das lernst du in diesem Artikel! Wenn du keine Lust auf lesen hast, kannst du dir auch einfach unser Video anschauen!
Inhaltsübersicht
Dreieck einfach erklärt
Ein Dreieck hat drei Ecken (A, B und C). Es besitzt außerdem noch drei Seiten und drei Winkel.
Die Ecken des Dreieckes beschriftest du immer gegen den Uhrzeigersinn. Merk dir außerdem: Die Ecke A liegt immer gegenüber der Seite a. Das ist auch bei den anderen Seiten genauso.
- Punkte = A, B, C
- Seiten = a, b, c
- Winkel = α, β, γ
Dreieck Konstruktion
Ein paar Dreiecksarten kannst du sehr leicht konstruieren.
Rechtwinkliges Dreieck Konstruktion
Beim rechtwinkligen Dreieck zeichnest du zuerst eine Seite mit Lineal und markierst den Punkt, wo deine Grundseite enden soll.
Dann zeichnest du einen Kreis um diesen Punkt und kennzeichnest die beiden Schnittpunkte.
Jetzt kannst du wieder zwei gleich große Kreise um die markierten Punkte ziehen. Die Kreise sollten so groß sein, dass sie sich zweimal schneiden. Durch die Schnittpunkte zeichnest du dann eine Gerade b. Die ist wegen der Konstruktion genau senkrecht.
Anschließend kannst du mit deinem Lineal ausmessen, wie lang deine Höhe sein soll und markierst den Punkt. Dann musst du nur noch den linken Punkt deiner Grundseite mit dem oberen Punkt der Höhe verbinden.
Jetzt hast du dein rechtwinkliges Dreieck konstruiert. Möchtest du ein gleichseitiges Dreieck konstruieren, geht das sogar noch schneller.
Gleichseitiges Dreieck konstruieren
Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten genau gleich lang. Um das zu konstruieren, zeichnest du zuerst die Grundseite. Die Grundseite zeichnest du genau so lang, wie auch die anderen Seiten sein sollen. Dann zeichnest du, um die beiden Eckpunkte, zwei gleich große Kreise. Als Radius wählst du genau die Länge der Grundseite.
Den oberen Schnittpunkt der zwei Kreise markierst du. Das ist dann auch dein dritter Eckpunkt und du kannst die übrigen Seiten einzeichnen.
Nicht nur ein ganzes Dreieck kannst du konstruieren, sondern auch bestimmte Geraden darin.
Konstruktion von Geraden
In einem Dreieck kannst du vier Geraden konstruieren, die pro Winkel oder Seite einmal vorkommen.
Höhe Dreieck konstruieren
Die Höhengerade (Höhe) steht senkrecht auf einer Seite und geht durch den gegenüberliegenden Eckpunkt. Um sie zu zeichnen, setzt du deinen Zirkel auf einen Eckpunkt des Dreiecks. Dann zeichnest du einen Kreis, der die gegenüberliegende Seite zweimal schneidet.
Um die Schnittpunkte zeichnest du wieder zwei gleich große Kreise. Dabei musst du nur darauf achten, dass die Kreise sich schneiden.
Für die Höhengerade musst du jetzt nur noch eine Linie von der Ecke durch die Schnittpunkte der beiden Kreise zeichnen.
Neben der Höhengerade kannst du auch die Mittelsenkrechte konstruieren.
Mittelsenkrechte Dreieck konstruieren
Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die genau durch die Mitte einer Seite geht. Außerdem steht sie zusätzlich noch senkrecht auf der Seite. Um die Mittelsenkrechte zu konstruieren, zeichnest du zwei gleich große Kreise um die beiden Eckpunkte der Seiten. Du wählst den Radius wieder so groß, dass sich die beiden Kreise schneiden.
Durch die beiden Schnittpunkte kannst du dann ganz einfach die Mittelsenkrechte zeichnen:
Seitenhalbierende Dreieck konstruieren
Die Seitenhalbierende geht genau durch den Mittelpunkt einer Seite bis zur gegenüberliegende Ecke. Im Gegensatz zu der Mittelsenkrechte muss sie dabei aber nicht senkrecht auf der Seite stehen. Für die Konstruktion zeichnest du zuerst zwei gleich große Kreise um die beiden Ecken einer Seite. Dann zeichnest du eine Gerade durch die Schnittpunkte. Anschließend markierst du die Stelle, an der die Gerade die Seite schneidet. Das ist dein Mittelpunkt:
Von der Mitte der Seite musst du jetzt nur noch eine Gerade zur gegenüberliegenden Ecke zeichnen. Das ist dann deine Seitenhalbierende:
Auch die Winkelhalbierende kannst du natürlich konstruieren.
Winkelhalbierende Dreieck konstruieren
Die Winkelhalbierende teilt den Winkel in deinem Dreieck in zwei gleich große Hälften. Für die Konstruktion zeichnest du zuerst einen Kreis um den Scheitelpunkt:
Anschließend markierst du die Schnittpunkte des Kreises mit den Schenkeln (Seiten, die den Winkel einschließen). Dazu stichst du mit dem Zirkel in die Schnittstellen ein und ziehst zwei Kreise mit gleichem Radius. Die Größe solltest du so einstellen, dass sich beide Kreise schneiden.
Für die Winkelhalbierende musst du jetzt nur noch eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte ziehen.
Die Winkelhalbierende brauchst du auch, um den Mittelpunkt des Inkreises zu konstruieren.
Inkreis konstruieren
Der Inkreis liegt genau im Dreieck und berührt dabei jede Seite ohne sie zu schneiden. Um ihn zu konstruieren, zeichnest du zuerst alle drei Winkelhalbierenden ein. Die Stelle, an der sich die drei Winkelhalbierenden schneiden, ist der Mittelpunkt des Inkreises. Du zeichnest den Inkreis jetzt ein, indem du mit dem Zirkel in den Schnittpunkt stichst. Dann ziehst du einen Kreis. Den Radius wählst du dabei so, dass dein Zirkel bis zur unteren Seite reicht.
Der Inkreis berührt jede Seite, ohne sie aber zu schneiden.
Umkreis konstruieren
Der Umkreis berührt dagegen genau alle drei Eckpunkte. Du zeichnest dafür alle drei Mittelsenkrechten. Wie das geht, haben wir uns weiter oben schonmal angeschaut. Die schneiden sich genau im Umkreismittelpunkt. An dem setzt du deinen Zirkel an und stellst als Radius die Länge bis zur Ecke ein. Dann kannst du den Umkreis zeichnen.
Schau dir jetzt nochmal genauer an, welche Eigenschaften das Dreieck alles hat.
Eigenschaften Dreieck
Das Dreieck in der Geometrie hat genau drei Eigenschaften, an denen du es erkennst:
Ein Dreieck besteht aus
- drei Ecken
- drei Seiten und
- drei Winkeln.
Du kannst dir aber auch andere wichtige Punkte im Dreieck anschauen.
Besondere Punkte im Dreieck
Ein Dreieck besitzt noch 4 spezielle Punkte:
- den Höhenschnittpunkt (Schnittpunkt der Höhen im Dreieck)
- den Umkreisschnittpunkt (Punkt, in dem sich die Mittelsenkrechten schneiden)
- den Schwerpunkt (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Dreieck)
- den Inkreismittelpunkt (Punkt, in dem sich die Winkelhalbierenden schneiden)
Die Punkte können bei jedem Dreieck an unterschiedlichen Stellen liegen. Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du dagegen immer gleich.
Flächeninhalt Dreieck
Möchtest du den Flächeninhalt eines Dreiecks in Mathe bestimmen, brauchst du nur diese Formel:
A = 0,5 · g · h
Hier setzt du für g die Länge einer Seite ein und für h verwendest du die dazugehörige Höhe. Schau dir dafür gleich mal ein Beispiel an. Ist g = 5 und h = 4, setzt du die Werte einfach in die Dreieck Formel ein:
A = 0,5 · g · h = 0,5 · 5 · 4 = 10
Der Flächeninhalt des Dreiecks aus deinem Beispiel ist also genau 10. Und wie berechnest du den Umfang?
Umfang Dreieck
Das geht ganz einfach. Um den Umfang eines Dreiecks zu bestimmen, musst du nur die einzelnen Seitenlängen zusammenrechnen:
U = a + b + c
Schau dir zum Beispiel ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 5, b = 4 und c = 3 an. Jetzt musst du nur die Längen zusammenrechnen:
U = a + b + c = 5 + 4 + 3 = 12
Dein Dreieck hat also einen Umfang von 12.
Innenwinkelsumme Dreieck
Wichtig ist, dass du noch weißt, wie groß die Innenwinkelsumme ist. Die ist im Dreieck nämlich immer 180°:
α + β + γ = 180°
Das hilft dir auch dabei, wenn du die Größe eines Winkels berechnen möchtest. Ist zum Beispiel α = 60° und β = 80°, überlegst du wie groß der Winkel γ sein muss:
γ = 180° – α – β = 180° – 60° – 80° = 40°
Der Winkel γ ist also 40° groß.
Expertenwissen 1: Kongruenz und Ähnlichkeit bei Dreiecken
Du nennst zwei Dreiecke kongruent , wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllen:
- drei Seiten stimmen überein (SSS)
- zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel sind gleich (SWS)
- zwei Seiten und der gegenüberliegende Winkel der größeren Seite stimmen überein (SSW)
- eine Seite und zwei Winkel stimmen überein – entweder die beiden anliegenden Winkel oder ein anliegender Winkel und der gegenüberliegende Winkel (WSW oder SWW)
Du nennst wiederum zwei Dreiecke ähnlich, wenn sie eine dieser Eigenschaften besitzen:
- alle drei Seiten haben jeweils die gleichen Längenverhältnisse
- zwei Seiten haben das gleiche Längenverhältnis und der von ihnen eingeschlossene Winkel ist gleich groß
- zwei Seiten haben das gleiche Längenverhältnis und der Winkel gegenüber der größeren Seite stimmt überein
- zwei Winkel stimmen überein
Expertenwissen 2: Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras sagt, dass im rechtwinkligen Dreieck die Summe aus den Kathetenprodukten genau dem Hypotenusenprodukt entspricht. Dabei ist die Hypotenuse die Seite, die gegenüber des rechten Winkels liegt. In einer Formel würdest du den Satz des Pythagoras also so schreiben:
a2 + b2 = c2
Du musst dir merken, dass du den Satz des Pythagoras aber nur im rechtwinkligen Dreieck benutzen darfst. Es gibt aber noch andere Dreiecksformen.
Dreieck Arten
Wie du jetzt schon weißt, hat ein Dreieck drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel. Es kann aber auch noch andere Eigenschaften haben. Deswegen unterscheidest du einige Dreieckstypen. Hier hast du eine kurze Übersicht über alle Dreiecksarten:
- gleichseitiges Dreieck (alle drei Seiten sind gleich lang)
- gleichschenkliges Dreieck (zwei Seiten sind gleich lang)
- unregelmäßiges Dreieck (keine Seite ist gleich lang)
- spitzwinkliges Dreieck (alle Winkel sind kleiner als 90°)
- rechtwinkliges Dreieck (ein Winkel ist genau 90°)
- stumpfwinkliges Dreieck (ein Winkel ist größer als 90°)
Wenn du noch mehr über die verschiedenen Dreiecksarten wissen willst, schau dir doch gleich unser Video dazu an.
