Kreisgleichung

Kreisgleichung einfach erklärt

Ein Kreis mit Radius und Mittelpunkt ist allgemein als die Menge aller Punkte definiert, die den Abstand zum Mittelpunkt besitzen. Ein solcher Kreis beziehungsweise die Punkte auf dem Kreis lassen sich mit einer sogenannten Kreisgleichung beschreiben. Für diese gibt es zwei Arten der Darstellung:

Kreisgleichung in Normalform

Die Kreisgleichung

beschreibt einen Kreis mit Radius um den Ursprung. Diese Formel ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. Denn die Strecken der Ortskoordinaten und eines jeden Punktes auf dem Kreis bilden zusammen mit dem Ortsvektor ein rechtwinkliges Dreieck.

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Kreisgleichung in Parameterform

Bei der Parameterdarstellung betrachtet man neben dem Radius noch einen weiteren Parameter, den Winkel . Dieser ermöglicht es uns die Koordinaten und unabhängig von einander anhand der sogenannten Polarkoordinaten darzustellen:

Sie beschreiben einen Kreis mit Radius um den Ursprung ( und ). Um diese Darstellung zu verstehen, betrachten wir den Einheitskreis mit . Zeichnet man den Ortsvektor

eines Punktes auf dem Einheitskreis, so beschreibt den Winkel, den dieser ausgehend von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn zurücklegt. Mit können wir nun den Ortsvektor bestimmen, dessen Spitze auf dem Kreis mit Radius um den Ursprung liegt. gibt uns bereits die Richtung an, in welche der Vektor zeigt. Damit die Spitze des Vektors tatsächlich auf dem Kreis mit Radius liegt, muss entsprechend um den Faktor gestreckt bzw. gestaucht werden. Das Ergebnis ist der gesuchte Ortsvektor auf dem Kreis mit Radius

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Kreisgleichung aufstellen

Im folgenden zeigen wir, wie du eine Kreisgleichung aufstellen kannst. Gegeben sei der Mittelpunkt eines Kreises, sowie ein Punkt , welcher auf dem Kreis liegt. Bestimme nun seine Kreisgleichung in Normalform.

Wir haben die Koordinaten des Mittelpunktes  und bereits gegeben. Um die Gleichung aufstellen zu können, müssen wir daher lediglich den Radius berechnen.

Wir wissen, dass ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius definiert ist als die Menge aller Punkte, welche den Abstand zum Punkt besitzen. Damit können wir bestimmen, indem wir den Abstand des Punktes , welcher auf dem Kreis liegt, zum Mittelpunkt berechnen. Das heißt gesucht ist die Länge der Strecke

Wir berechnen also zunächst :

und anschließend die Länge des Vektors :

Damit ergibt sich schließlich der Radius . Setzt man nun , sowie und in die Kreisgleichung ein, erhält man:

Kreisfunktion und Lage im Kreis

Wir wissen nun, was eine Kreisgleichung ist und wie sie aufgestellt wird. Jetzt können wir sie verwenden, um die Lage eines Punktes im Kreis zu untersuchen. Dafür betrachten wir die Kreisfunktion

eines Kreises mit Mittelpunkt . Der Kreis habe den Radius .

Nun setzen wir den Punkt in die Kreisfunktion ein, um herauszufinden, ob er innerhalb des Kreises, auf dem Kreis oder außerhalb des Kreises liegt. Gilt für die Funktion

so befindet sich der Punkt im Inneren des Kreises.

Ist hingegen

dann liegt der Punkt genau auf dem Kreis. Dementsprechend befindet sich der Punkt außerhalb des Kreises, wenn

Beispiel

Betrachten wir noch einmal unser Beispiel vom Aufstellen einer Kreisgleichung. Dort ist die Kreisfunktion durch

gegeben. Den Radius haben wir bereits bestimmt. Nun wollen wir die Lage des Punktes untersuchen. Dafür setzen wir (3,-2) in die Kreisfunktion ein:

Jetzt vergleichen wir dieses Ergebnis mit Es gilt

somit liegt der Punkt außerhalb des Kreises.

Schnittpunkt zweier Kreise

Wir wollen nun untersuchen, ob sich zwei Kreise schneiden und falls ja, wie viele Schnittpunkte es gibt. Dafür betrachten wir den Abstand der Mittelpunkte im Vergleich zur Summe der Radien.

Gegeben seien zwei Kreise mit Mittelpunkten und und Radien und .

Der Abstand der Mittelpunkte wird folgendermaßen berechnet:

Nun vergleichen wir ihn mit der Summe der Radien: .

Ist der Abstand der Mittelpunkte größer als die Summe der Radien, also

dann schneiden sich die Kreise nicht.

Gilt Gleicheit, das heißt

dann besitzen die Kreise einen Berührpunkt.

Wenn hingegen die Summe der Radien größer ist als

dann besitzen die Kreise zwei Schnittpunkte.