Wie rechne ich den Winkel in Bogenmaß um?

Einen Winkel rechnest du von Grad ins Bogenmaß um, indem du mit multiplizierst: . Das passt, weil genau rad sind. Zum Beispiel wird zu .

Welche Fehler passieren oft beim Einsetzen von Winkel und Radius?

Häufige Fehler sind: Grad und Bogenmaß verwechseln, den Winkelanteil falsch wählen (bei Grad muss stehen) und den Radius nicht quadrieren. Beispiel: Wer bei nur mit statt mit rechnet, erhält eine viel zu kleine Fläche; richtig ist .

Wie berechne ich den Kreisausschnitt, wenn ich den Kreisbogen kenne?

Den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts kannst du aus dem Kreisbogen und dem Radius mit berechnen, wenn eine Länge ist. Das folgt aus und . Beispiel: Bei und gilt .

Wie unterscheide ich Kreisausschnitt und Kreisring in Aufgaben?

Ein Kreisausschnitt ist ein „Tortenstück“ mit einem Winkel und einem Radius, also ein Teil einer Kreisfläche. Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen und hat einen Innenradius und einen Außenradius. Beispiel: Stehen und in der Aufgabe, ist es ein Kreisring, nicht ein Ausschnitt.

Wann muss ich bei einem Kreisausschnitt die Einheit Quadratmeter schreiben?

Quadratmeter schreibst du immer dann, wenn du den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts angibst und die Längen in Metern gegeben sind oder in Meter umgerechnet wurden. Flächen haben grundsätzlich quadratische Einheiten. Beispiel: Wenn in Metern eingesetzt wird, kommt für automatisch heraus, nicht m.

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Kreisbogen und Kreisausschnitt (Kreisausschnitt)

Wichtige Inhalte in diesem Video

Kreisausschnitt einfach erklärt

(00:11)

Kreisausschnitt berechnen

(00:20)

Beispiel

(00:35)

Durchmesser mit Kreisausschnitt berechnen

(01:14)

In diesem Beitrag erfährst du, was ein Kreisausschnitt ist und wie du ihn berechnen kannst. Schau dir unser Video dazu an! Dort erklären wir es dir anschaulich.

Inhaltsübersicht

Kreisausschnitt einfach erklärt

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(00:11)

Ein Kreisausschnitt ist ein Anteil der Fläche eines Kreises, der eng mit dem Kreisbogen b zusammenhängt.

Kreis, Winkel, Bogen, Radius, Durchmesser — Kreisbogen und Kreisausschnitt

Was ist ein Kreisausschnitt?

Der Kreisausschnitt oder Kreissektor $\textcolor{violet}{A_S}$ ist ein Teil des Flächeninhalts eines Kreises. Der Kreisausschnitt $\textcolor{violet}{A_S}$ hängt vom Winkel $\textcolor{orange}{\alpha}$ ab. Außerdem siehst du, dass der Anteil des Kreisausschnitts am Umfang des Kreises mit dem Kreisbogen b identisch ist. Um den Kreisausschnitt zu berechnen, verwendest du die Formel

$\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2$

Kreisausschnitt berechnen

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(00:20)

Der Anteil des Kreisausschnitts $\textcolor{violet}{A_S}$ an der gesamten Kreisfläche entspricht dem Anteil $\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ}$ . Diesen Anteil multiplizierst du mit dem Flächeninhalt A eines Kreises .

$\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot\underbrace{ \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2}_{= A}$

Lass uns ein Beispiel dazu anschauen.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Beispiel

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(00:35)

Stell dir vor, du hast folgenden Kreis mit Radius r = 7,5cm und dem Winkel 217° vorgegeben.

Kreis, Winkel, Bogen, Ausschnitt, Radius — Gesucht: Kreisausschnitt As

Du sollst nun den Kreisausschnitt $\textcolor{violet}{A_S}$ berechnen. Dazu befolgst du folgende Schritte.

1. Formel aufstellen: Schreib die Kreisausschnitt Formel noch einmal hin.

$\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2$

2. Werte einsetzen: Setz die Angaben in die Kreisausschnitt Formel ein.

$\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{217^\circ}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (\textcolor{blue}{{7,5\text{cm}}})^2$

3. Kreisausschnitt berechnen: Löse die Rechnung mit deinem Taschenrechner .

$\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{217^\circ}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (\textcolor{blue}{{7,5\text{cm}}})^2$

$\textcolor{violet}{A_S \approx 106,52\text{cm}^2}$

Du siehst, dass der Kreissektor eine Fläche von $106,52\text{cm}^2$ hat.

Durchmesser mit Kreisausschnitt berechnen

im Videozur Stelle im Video springen

(01:14)

Diesmal suchst du den Durchmesser des Kreises.

Kreis, Winkel, Radius, Durchmesser, Kreisausschnitt — Gesucht: Durchmesser d

Du kennst den Winkel mit 26° und die Fläche vom Kreisausschnitt mit $\textcolor{violet}{80\text{cm}^2}$ .

1. Formel aufstellen: Zuerst schreibst du die Kreisausschnitt Formel auf.

$\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2$

2. Gleichung auflösen: Du brauchst den Radius. Also musst du die Formel nach r auflösen.

$\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2 \quad | : \pi$

$\frac{\textcolor{violet}{A_S}}{\pi} = \frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \textcolor{blue}{r}^2 \quad | \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}}$

$$\frac{\textcolor{violet}{A_S}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}} = \textcolor{blue}{r}^2 \quad | \sqrt{}$

$\textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{violet}{A_S}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}}$

3. Werte einsetzen: Setze $\textcolor{violet}{A_S = 80\text{cm}^2}$ und $\textcolor{orange}{\alpha = 26^\circ}$ ein.

$\textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{violet}{80\text{cm}^2}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{26^\circ}}$

4. Durchmesser ausrechnen: Du rechnest das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus.

$\textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{violet}{80\text{cm}^2}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{26^\circ}}$

$\textcolor{blue}{r \approx 18{,}78\ \text{cm}}$

$d = 2 \cdot \textcolor{blue}{r} \approx 37{,}56\ \text{cm}$

Der Radius beträgt ungefähr 18,78 cm und der Durchmesser doppelt so viel, also circa 37,56 cm.

Kreisbogen und Kreisausschnitt (Kreisausschnitt) — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie rechne ich den Winkel in Bogenmaß um?

Einen Winkel rechnest du von Grad ins Bogenmaß um, indem du mit $\frac{\pi}{180^\circ}$ multiplizierst: $\alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\circ}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}$ . Das passt, weil $180^\circ$ genau $\pi$ rad sind. Zum Beispiel wird $60^\circ$ zu $60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{3}$ .
Welche Fehler passieren oft beim Einsetzen von Winkel und Radius?

Häufige Fehler sind: Grad und Bogenmaß verwechseln, den Winkelanteil falsch wählen (bei Grad muss $\frac{\alpha}{360^\circ}$ stehen) und den Radius nicht quadrieren. Beispiel: Wer bei nur mit statt mit rechnet, erhält eine viel zu kleine Fläche; richtig ist $\pi\cdot 5^2$ .
Wie berechne ich den Kreisausschnitt, wenn ich den Kreisbogen kenne?

Den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts kannst du aus dem Kreisbogen und dem Radius mit $A_S=\frac{1}{2}\,r\,b$ berechnen, wenn eine Länge ist. Das folgt aus $b=r\alpha$ und $A_S=\frac{1}{2}r^2\alpha$ . Beispiel: Bei und gilt $A_S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12$ .
Wie unterscheide ich Kreisausschnitt und Kreisring in Aufgaben?

Ein Kreisausschnitt ist ein „Tortenstück“ mit einem Winkel und einem Radius, also ein Teil einer Kreisfläche. Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen und hat einen Innenradius und einen Außenradius. Beispiel: Stehen $r_\text{innen}$ und $r_\text{außen}$ in der Aufgabe, ist es ein Kreisring, nicht ein Ausschnitt.
Wann muss ich bei einem Kreisausschnitt die Einheit Quadratmeter schreiben?

Quadratmeter schreibst du immer dann, wenn du den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts angibst und die Längen in Metern gegeben sind oder in Meter umgerechnet wurden. Flächen haben grundsätzlich quadratische Einheiten. Beispiel: Wenn in Metern eingesetzt wird, kommt für automatisch $\text{m}^2$ heraus, nicht m.

Gradmaß und Bogenmaß

Mit der Kreisbogen Formel kannst du auch die Umrechnung von Gradmaß zu Bogenmaß durchführen. Um den vollen Durchblick zu dem Thema zu bekommen, musst du dir unser Video dazu anschauen!