Geometrie
Geometrische Grundlagen
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Hier erfährst du, was der 2. Strahlensatz ist und wofür du ihn brauchst! Schau dir auch unser Video an!

2. Strahlensatz einfach erklärt

Die Strahlensätze  helfen dir dabei, unbekannte Längen zu berechnen, zum Beispiel die Seite eines Dreiecks oder die Höhe eines Turms in einer Textaufgabe. 

Um den zweiten Strahlensatz benutzen zu können, brauchst du folgende Voraussetzungen:

  • zwei Geraden, die sich in einem Zentrum Z schneiden.
  • zwei Parallelen, die durch die Geraden gehen. Die Parallelen können entweder auf der gleichen Seite des Zentrums liegen (Bild rechts) oder auf zwei verschiedenen (Bild links).
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2. Strahlensatz

Der zweite Strahlensatz besagt, dass das Verhältnis der Parallelen gleich dem Verhältnis der Abschnitte auf einem der Strahlen ist.

2. Strahlensatz Formel

    \[\frac{\textcolor{olive}{\overline{AB}}}{\textcolor{red}{\overline{ZA}}} = \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}} \text{ oder } \frac{\textcolor{olive}{\overline{AB}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} = \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}\]

Du kannst die Strahlensatz Formel umstellen, indem du die Zähler und Nenner vertauschst. Außerdem kannst du für den 2. Strahlensatz auch schreiben:
Parallelen und orangener/roter Strahl:

    \[\frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{olive}{\overline{AB}}} = \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}\]

Parallelen und lila/blauer Strahl:

    \[\frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{olive}{\overline{AB}}} = \frac{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}}\]

Schau dir direkt ein paar Beispiele dazu an!

2. Strahlensatz Aufgabe 1

Die Geraden der Strahlensatzfigur bilden ein Dreieck. Mit dem 2. Strahlensatz kannst du unbekannte Längen im Dreieck berechnen.

Stell dir ein Dreieck mit den Längen \textcolor{orange}{\overline{ZA'} = \text {6 cm}}, \textcolor{red}{\overline{ZA}= \text{3 cm}} und \textcolor{olive}{\overline{A'B'}= \text{5 cm}} vor. Du sollst nun die Länge \textcolor{olive}{\overline{AB}} berechnen.

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2. Strahlensatz Aufgabe

1. Richtigen Strahlensatz aussuchen: Da du die Längen zu der Parallelen und dem orangenen/roten Strahl kennst, benutzt du die Formel

    \[\frac{\textcolor{olive}{\overline{AB}}}{\textcolor{red}{\overline{ZA}}} = \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}\]

2. Nach gesuchter Länge umstellen: Stelle sie nach \textcolor{olive}{\overline{AB}} um. Wenn du das „Formel umstellen“ wiederholen willst, schau dir unser Video dazu an.

    \begin{align*} \frac{\textcolor{olive}{\overline{AB}}}{\textcolor{red}{\overline{ZA}}} &= \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}} \quad \quad | \cdot \textcolor{red}{\overline{ZA}}\\ \textcolor{olive}{\overline{AB}} &= \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}} \cdot \textcolor{red}{\overline{ZA}}\\ \end{align*}

3. Werte einsetzen: Nun kannst du deine Werte \textcolor{orange}{\overline{ZA'} = \text {6 cm}}, \textcolor{red}{\overline{ZA}= \text{3 cm}} und \textcolor{olive}{\overline{A'B'}= \text{5 cm}} einsetzen.

    \begin{align*}\textcolor{olive}{\overline{AB}} &= \frac{\textcolor{olive}{\text {5 cm}}}{\textcolor{orange}{\text{6 cm}}} \cdot \textcolor{red}{\text{3 cm}}\\ \textcolor{olive}{\overline{AB}} &= \textcolor{olive}{\text{2,5 cm}}\end{align*}

Die Parallele \textcolor{olive}{\overline{AB}} ist \textcolor{olive}{\text{2,5 cm}} lang.

2. Strahlensatz Aufgabe 2

Nun hast du eine Strahlensatzfigur mit den Längen \textcolor{olive}{\overline{AB}= \text{6 cm}}, \textcolor{olive}{\overline{A'B'}= \text{9 cm}} und \textcolor{purple}{\overline{ZB'}= \text{12 cm}}. Berechne die Länge der Strecke \textcolor{blue}{\overline{ZB}}.

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2. Strahlensatz Aufgabe

1. Richtigen Strahlensatz aussuchen: Da es in diesem Strahlensatz Beispiel um die Parallelen und den lila/blauen Strahl geht, benutzt du die Formel

    \[\frac{\textcolor{olive}{\overline{AB}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} = \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}\]

2. Nach gesuchter Länge umstellen: Löse sie nach \textcolor{blue}{\overline{ZB}} auf.

    \begin{align*} \frac{\textcolor{olive}{\overline{AB}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} &= \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}} \quad \quad \quad | \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}} \\ \textcolor{olive}{\overline{AB}} &= \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}\cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}} \quad | \cdot \frac{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}} &= \textcolor{olive}{\overline{AB}} \cdot \frac{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}\\ \end{align*}

3. Werte einsetzen: Setze deine Werte \textcolor{olive}{\overline{AB}= \text{6 cm}}, \textcolor{olive}{\overline{A'B'}= \text{9 cm}} und \textcolor{purple}{\overline{ZB'}= \text{12 cm}} in die Formel ein.

    \begin{align*} \textcolor{blue}{\overline{ZB}} &= \textcolor{olive}{\text{6 cm}} \cdot \frac{\textcolor{purple}{\text{12 cm}}}{\textcolor{olive}{\text{9 cm}}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}} &= \textcolor{blue}{\text{8 cm}}\\ \end{align*}

Die Seite \textcolor{blue}{\overline{ZB}} ist 8 cm lang.

Winkel berechnen

Jetzt bist du der Profi, wenn es um Strahlensätze, den ersten Strahlensatz  oder den zweiten Strahlensatz geht! Manchmal musst du keine unbekannten Längen, sondern unbekannte Winkel berechnen. In unserem Video dazu zeigen wir dir, wie’s geht!%Thumbnailverweis

Winkel berechnen
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