Geometrie
Geometrische Grundlagen
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Du willst wissen, wofür du den 1. Strahlensatz brauchst und wie du mit ihm rechnest? Hier und in unserem Video erklären wir dir alles, was du wissen musst und zeigen dir Beispiele für den 1. Strahlensatz!

1. Strahlensatz einfach erklärt

Du benutzt den 1. Strahlensatz, um unbekannte Längen zu bestimmen oder das Verhältnis von Längen zu vergleichen. Zum Beispiel die Höhe eines Turms oder die Breite eines Flusses.

Dafür brauchst du folgende Voraussetzungen:

  • zwei Strahlen bzw. Geraden, die sich in einem Zentrum Z schneiden.
  • zwei Parallelen, die die Geraden schneiden. Sie können entweder auf der gleichen Seite des Zentrums Z liegen oder auf zwei gegenüberliegenden.
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1. Strahlensatz
1 Strahlensatz Formel

    \[\frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} = \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}\]

Der erste Strahlensatz vergleicht also die Abschnitte auf den beiden Strahlen. Die Länge der Parallelen brauchst du im 1. Strahlensatz nicht.

1. Strahlensatz Beispiel 1

Du hast die Figur mit den Längen \textcolor{blue}{\overline{ZB} = \text{ 7 cm}}, \textcolor{purple}{\overline{ZB'} = \text{ 15 cm}} und \textcolor{orange}{\overline{ZA'} = \text{12 cm}} gegeben. Da es eine Strahlensatzfigur ist, kannst du nun mit dem 1. Strahlensatz die fehlende Länge \textcolor{red}{\overline{ZA}} des kleinen Dreiecks bestimmen.

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1 Strahlensatz Beispiel

Stelle die 1. Strahlensatz Formel dafür nach \textcolor{red}{\overline{ZA}} um. Wenn du nochmal üben willst, wie du die Formel umstellen kannst, schau dir unser Video dazu an.

    \begin{align*} \frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} &= \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}} \quad \quad \quad | \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}}\\ \textcolor{red}{\overline{ZA}} &= \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}} \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}} \end{align*}

Nun kannst du deine Werte \textcolor{blue}{\overline{ZB} = \text{ 7 cm}}, \textcolor{purple}{\overline{ZB'} = \text{ 15 cm}} und \textcolor{orange}{\overline{ZA'} = \text{12 cm}} in die Formel einsetzen:

    \begin{align*} \textcolor{red}{\overline{ZA}} &= \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}} \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}}\\ \textcolor{red}{\overline{ZA}} &= \frac{\textcolor{orange}{\text{12 cm}}}{\textcolor{purple}{\text{15 cm}}} \cdot \textcolor{blue}{\text{7 cm}}\\ \textcolor{red}{\overline{ZA}} &= \textcolor{red}{\text{5,6 cm}}\\ \end{align*}

Die Strecke \textcolor{red}{\overline{ZA}} ist 5,6 cm lang.

1. Strahlensatz Beispiel 2

Du hast eine Strahlensatzfigur mit den Längen \textcolor{purple}{\overline{ZB'} = \text{8 cm}}, \textcolor{red}{\overline{ZA} = \text{3 cm}} und \textcolor{orange}{\overline{ZA'} = \text{6 cm}} gegeben. Du sollst nun die Länge der Strecke \textcolor{blue}{\overline{ZB}} berechnen.

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1 Strahlensatz Beispiel

Um die Länge von \textcolor{blue}{\overline{ZB}} zu berechnen, benutzt du die Strahlensatz Formel:

    \[\frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} = \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}\]

Stelle die Formel nach \textcolor{blue}{\overline{ZB}} um.

    \begin{align*} \frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} &= \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}} \quad \quad \quad | \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}}\\ \textcolor{red}{\overline{ZA}} &= \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}} \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}} \quad \quad | \cdot \frac{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}}&= \textcolor{red}{\overline{ZA}} \cdot \frac{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}} \end{align*}

Nun hast du deine Formel nach \textcolor{blue}{\overline{ZB}} aufgelöst und kannst deine Werte \textcolor{purple}{\overline{ZB'} = \text{8 cm}}, \textcolor{red}{\overline{ZA} = \text{3 cm}} und \textcolor{orange}{\overline{ZA'} = \text{6 cm}} einsetzen:

    \begin{align*} \textcolor{blue}{\overline{ZB}}&= \textcolor{red}{\overline{ZA}} \cdot \frac{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}}&= \textcolor{red}{\text{3 cm}} \cdot \frac{\textcolor{purple}{ \text{8 cm}}}{\textcolor{orange}{\text{6 cm}}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}}&= \textcolor{blue}{\text{4 cm}} \end{align*}

Die Strecke \textcolor{blue}{\overline{ZB}} ist 4 cm lang!

Beweis 1. Strahlensatz

Du möchtest dir den Beweis der 1. Strahlensatz Formel anschauen? Im Folgenden erklären wir ihn dir!

Es soll bewiesen werden, dass die Strecken \textcolor{blue}{\overline{ZB}} zu \textcolor{purple}{\overline{ZB'}} sich genau so verhalten wie \textcolor{red}{\overline{ZA}} und \textcolor{orange}{\overline{ZA'}}.

1. Strahlensatz, Strahlensatz, Strahlensätze
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1. Strahlensatz

Zuerst überlegst du dir, dass die beiden Dreiecke ZAB und ZA’B‘ ähnlich sind. Denn durch den Streckfaktor k kannst du aus einem Dreieck das andere machen:

Streckst du die Strecke \textcolor{red}{\overline{ZA}} mit dem Faktor k, bekommst du \textcolor{orange}{\overline{ZA'}}.

k · \textcolor{red}{\overline{ZA}} = \textcolor{red}{\overline{ZA}} + \textcolor{orange}{\overline{ZA'}}

Streckst du die Strecke \textcolor{blue}{\overline{ZB}} mit dem Faktor k, bekommst du \textcolor{purple}{\overline{ZB'}}.

k · \textcolor{blue}{\overline{ZB}} = \textcolor{blue}{\overline{ZB}} + \textcolor{purple}{\overline{ZB'}}

Du streckst also die kurze Strecke und bekommst dadurch die verlängerte Strecke. 

Stelle jetzt beide Gleichungen nach k um:

    \begin{align*} k \cdot \textcolor{red}{\overline{ZA}} &= \textcolor{red}{\overline{ZA}} + \textcolor{orange}{\overline{ZA'}} \quad \quad | : \textcolor{red}{\overline{ZA}}\\ k &= \frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}} + \textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}\\ \end{align*}

und

    \begin{align*} k \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}} &= \textcolor{blue}{\overline{ZB}} + \textcolor{purple}{\overline{ZB'}} \quad \quad | : \textcolor{blue}{\overline{ZB}}\\ k &= \frac{\textcolor{blue}{\overline{ZB}} + \textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}}\\ \end{align*}

Jetzt hast du zwei Brüche für k. Setze sie gleich.

    \begin{align*} \frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}} + \textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{red}{\overline{ZA}}} &= \frac{\textcolor{blue}{\overline{ZB}} + \textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} \quad \quad | \cdot \textcolor{red}{\overline{ZA}} \quad | \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}} \cdot \textcolor{red}{\overline{ZA}} + \textcolor{blue}{\overline{ZB}} \cdot \textcolor{orange}{\overline{ZA'}} &= \textcolor{red}{\overline{ZA}} \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}} + \textcolor{red}{\overline{ZA}} \cdot\textcolor{purple}{\overline{ZB'}} \quad \quad | - \textcolor{red}{\overline{ZA}} \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}} \cdot \textcolor{orange}{\overline{ZA'}} &= \textcolor{red}{\overline{ZA}} \cdot\textcolor{purple}{\overline{ZB'}} \quad \quad | : \textcolor{purple}{\overline{ZB'}} \quad | : \textcolor{orange}{\overline{ZA'}}\\ \frac{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}} &= \frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}\\ \end{align*}

2. Strahlensatz

Jetzt kennst du den ersten Strahlensatz und kannst ihn beweisen! Doch was hat es mit dem zweiten Strahlensatz auf sich? Das erfährst du hier !

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