Quadratzahlen
Du fragst dich, was Quadratzahlen sind und welche Eigenschaften sie haben? In unserem Beitrag und Video erfährst du alles, was du wissen musst!
Inhaltsübersicht
Quadratzahlen einfach erklärt
Was ist eine Quadratzahl? Eine Quadratzahl entsteht, wenn du eine Zahl mit sich selber mal nimmst. Zum Beispiel ist 36 die Quadratzahl der Rechnung 6 · 6.
Der Name Quadratzahl stammt vom Quadrat. Möchtest du mit Steinen ein Quadrat legen, ist die Anzahl der Steine, die du dafür brauchst immer eine Quadratzahl. So lässt sich ein Quadrat mit der Seitenlänge 3 mit 3 · 3 = 9 Steinen legen:
Statt der Rechnung 3 · 3 = 9 kannst du auch 3² schreiben. Die kleine 2 über deiner Zahl bedeutet, dass du sie mit sich selber mal nimmst. Du sprichst: „3 hoch 2“ oder „3 im Quadrat“ . Genauso gut kannst du statt 9 · 9 = 81 die Rechnung 9² = 81 schreiben.
Quadratzahlen Tabelle
Wir haben dir die Quadratzahlen in zwei Tabellen zusammengefasst. In der ersten siehst du die Quadratzahlen bis 10 und in der zweiten die Quadratzahlen bis 20.
Quadratzahlen bis 10:
| 12 | 1 | ||
| 22 | 4 | ||
| 32 | 9 | ||
| 42 | 16 | ||
| 52 | 25 | ||
| 62 | 36 | ||
| 72 | 49 | ||
| 82 | 64 | ||
| 92 | 81 | ||
| 102 | 100 |
Quadratzahlen bis 20:
| 112 | 121 | ||
| 122 | 144 | ||
| 132 | 169 | ||
| 142 | 196 | ||
| 152 | 225 | ||
| 162 | 256 | ||
| 172 | 289 | ||
| 182 | 324 | ||
| 192 | 361 | ||
| 202 | 400 |
1. Summe ungerader Zahlen
Du kannst alle Quadratzahlen auch dadurch erhalten, dass du eine bestimmte Anzahl ungerader Zahlen addierst. Möchtest du beispielsweise die Quadratzahl 9² herausfinden, rechnest du die ersten 9 ungeraden Zahlen zusammen:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81
2. Summe natürlicher Zahlen
Um eine Quadratzahl, zum Beispiel 9² auszurechnen, kannst du die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis zum Vorgänger deiner Zahl mal 2 nehmen und deine Ausgangszahl addieren:
9² = 2 · (1 + 2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8) + 9 = 81
Übrigens: Die Summe aus den ersten neun natürlichen Zahlen nennst du auch neunte Dreieckszahl D9.
3. Teilermenge von Quadratzahlen
Dividierst du eine Zahl ohne Rest, kannst du die Teiler in der sogenannten Teilermenge zusammenfassen. Bei Quadratzahlen hat diese Menge immer eine ungerade Anzahl an Elementen. Schaue dir zum Beispiel die Quadratzahl 16 an:
Ihre Teiler sind: 1, 2, 4, 8 und 16. Also insgesamt 5 Teiler.
Oder schaue dir die Quadratzahl 9 an. Ihre Teiler sind: 1, 3, 9. Also insgesamt 3 Teiler.
4. Endziffern
Um zu erkennen, ob eine Zahl eine Quadratzahl ist, kannst du auf ihre Endziffer schauen. Quadratzahlen können nur die Endziffern 0, 1, 4, 5, 6 und 9 haben. Wirst du also gefragt, ob die Zahl 2648 eine Quadratzahl ist, kannst du direkt verneinen, denn ihre Endziffer ist 8.
5. Primfaktorzerlegung
Führst du bei Quadratzahlen (>1) die Primfaktorzerlegung durch, tauchen gleiche Primfaktoren nur in geraden Anzahlen auf. Zum Beispiel:
36 = 6 · 6 = 2 · 3 · 2 · 3= 2 · 2 · 3 · 3 = 2² · 3²
6. Rechentrick mit Endziffer 5
Möchtest du eine Zahl, die auf 5 endet, ins Quadrat nehmen, gibt es einen einfachen Rechentrick für dich. Schaue dir dazu die Zahl 15 an: Zuerst multiplizierst du die Zahl ohne die Endziffer 5 (hier: 1) mit ihrem Nachfolger ( 0 1 2 3 4 …):
1 · 2 = 2
Dann hängst du an dein Ergebnis die Ziffern 2 und 5 an:
225
Und schon hast du dein Ergebnis: 15² = 225
Quadratzahlen sind Zahlen, die du als Produkt zweier natürlicher Zahlen schreiben kannst. Die ersten Quadratzahlen sind 1 = 1 • 1, 4 = 2 • 2, 9 = 3 • 3, 16 = 4 • 4 usw.
Quadratwurzel
Jetzt, wo du die Quadratzahlen kennst, solltest du dir unbedingt die Quadratwurzeln anschauen. Mit ihnen kannst du die Quadratzahl wieder auf ihre Ursprungszahl zurückbringen.
